‘근호 하나를 간단히 하기’와 ‘근호 두 개의 사칙연산’ 중 하나를 고르고, 근호 앞의 수와 근호 안의 수를 입력해 주세요. 아래 수식은 입력란과 연동되어 있어 수식의 숫자 부분을 직접 고쳐 써도 계산할 수 있습니다.
근호 앞의 수는 빈칸이면 1로 처리하며 소수, 음수, 3/4 같은 분수도 쓸 수 있습니다. 근호 안의 수는 1 이상의 정수만 쓸 수 있습니다.
계산 결과·그래프
왼쪽 입력란에 근호 안의 수를 넣고 ‘계산’을 누르면 여기에 간단히 한 꼴과 수직선이 표시됩니다.
이 페이지에서 할 수 있는 것
- \(\sqrt{48}\) 같은 제곱근을 \(4\sqrt{3}\)(근호 안을 가능한 한 작은 자연수로 만든 꼴)으로 간단히 할 수 있습니다. 근호 안의 수의 소인수분해와 제곱인 인수를 밖으로 꺼내는 풀이 과정도 볼 수 있습니다
- \(\sqrt{36} = 6\)처럼 근호 안이 제곱수일 때는 근호가 없어지고 정수가 되는 것도 확인할 수 있습니다
- \(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\), \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}\) 같은 근호끼리의 덧셈·뺄셈·곱셈·나눗셈을 간단히 한 정확한 꼴로 계산할 수 있습니다
- 나눗셈에서 분모에 근호가 남을 때는 분모에서 근호를 없앤 꼴(분모를 유리화한 꼴)로 답합니다. 예: \(6 \div \sqrt{3} = 2\sqrt{3}\)
- 답은 정확한 꼴이 중심이고, 소수의 값과 ‘어느 정수와 어느 정수 사이에 있는지’도 함께 보여 줍니다. 수직선으로 크기도 확인할 수 있습니다
- 계산기에는 손으로 쓰는 것과 같은 꼴의 근호 식이 표시되며, 근호 안이나 앞의 수를 직접 고쳐 써서 계산할 수도 있습니다
다루는 것은 근호 안이 자연수인 제곱근입니다. 음수의 제곱근, 세제곱근 같은 거듭제곱근, \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\) 같은 이중근호는 다루지 않습니다.
이 계산은 어디에 쓰일까요?
복사 용지 A4·A3의 가로세로 비(생활 속의 규격)
A4, A3 등 A 계열 용지는 세로와 가로의 비가 \(1 : \sqrt{2}\)가 되도록 정해져 있습니다. 이 비라면 긴 쪽을 반으로 접어도 비가 바뀌지 않으므로, A3을 반으로 접으면 딱 A4가 됩니다. 실제로 A4는 210 mm × 297 mm이고, \(297 \div 210 \fallingdotseq 1.4143\)과 \(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.4142\)가 거의 일치합니다.
A0의 넓이를 1제곱미터로 정한 뒤 이 비를 쓰면 A0은 841 mm × 1189 mm가 됩니다. 복사기의 확대·축소에 ‘A4→A3 141%’라고 표시되는 것도 이 \(\sqrt{2}\)배 때문입니다.
비스듬한 길이 구하기(건축·설계·측량)
직각으로 만나는 두 변의 길이로 비스듬한 길이를 구할 때(피타고라스 정리) 답은 대부분 근호의 꼴이 됩니다. 한 변이 1 m인 정사각형의 대각선은 \(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.414\) m, 세로 3 m·가로 4 m라면 \(\sqrt{25} = 5\) m입니다.
건축이나 목공 현장에서는 이 대각선의 길이를 재어 직각이 제대로 나왔는지 확인합니다. 설계도에서는 \(\sqrt{18}\) 같은 값을 그대로 쓰지 않고 \(3\sqrt{2}\)로 간단히 해 두면, \(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.414\)의 3배로 약 4.24 m라고 바로 짐작할 수 있습니다.
자료가 흩어진 정도를 나타내는 표준편차(통계·품질 관리)
표준편차는 평균과의 차이를 제곱해 평균한 값(분산)의 제곱근입니다. 제곱한 뒤 제곱근을 구함으로써 원래 자료와 같은 단위로 되돌리는 구조입니다.
예를 들어 4, 6, 8, 10, 12라는 5개의 값이라면 평균은 8, 분산은 8이므로 표준편차는 \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2} \fallingdotseq 2.83\)입니다. 수능의 표준점수, 공장에서의 제품 품질 관리, 건강 검진의 기준값 등 제곱근은 자료를 다루는 모든 곳에 나옵니다.
떨어지는 시간·진자의 주기 구하기(물리)
높이 \(h\) m에서 물체를 떨어뜨렸을 때 땅에 닿을 때까지의 시간은 \(\sqrt{\dfrac{2h}{g}}\)초(\(g\)는 중력가속도로 약 9.8 m/s²)이며, 5 m라면 약 1.01초입니다. 진자가 한 번 왕복하는 시간도 실의 길이의 제곱근에 비례합니다(길이 1 m인 진자에서 약 2.0초).
‘시간은 거리의 제곱근에 비례한다’는 이 관계는 시계나 놀이 기구의 설계, 추락 사고의 검증 등 가까운 곳에서 쓰이고 있습니다.
스키드 마크로 사고 당시의 속도 알아내기(교통사고 감정)
타이어가 노면에 남긴 브레이크 자국(스키드 마크)의 길이로 브레이크를 밟기 시작했을 때의 속도를 \(\sqrt{2\mu g d}\)(\(\mu\)는 노면과 타이어의 마찰계수, \(g\)는 중력가속도, \(d\)는 브레이크 자국의 길이)로 추정할 수 있습니다. 마른 포장도로에서 \(\mu = 0.7\), 자국이 20 m라면 \(\sqrt{274.4} \fallingdotseq 16.6\) m/s, 시속으로 약 60 km입니다.
이 추정은 교통사고 감정에서 실제로 쓰이며, 속도가 2배가 되면 브레이크가 듣기 시작해 멈출 때까지의 거리(제동 거리)가 4배가 된다(= 제동 거리는 속도의 제곱에 비례한다)는 안전 운전의 근거가 되기도 합니다.
공식과 그림
제곱근과 근호의 뜻
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\left(\sqrt{a}\right)^{2}\)
\(=\)
\(a\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
제곱하면 \(a\)가 되는 양수 \(\sqrt{a}\)를 다시 제곱한 것
\(=\)
②
\(a\): 근호 안의 수
공식을 말로 읽으면
①
\(a\)가 0 이상의 수일 때,
제곱하면 \(a\)가 되는 양수 \(\sqrt{a}\)를 다시 제곱한 것
은
②
\(a\): 근호 안의 수
그 자체가 됩니다.
간단한 예
\(2\)의 제곱근 \(\sqrt{2}\)는 한 변이 \(1\)인 정사각형의 대각선의 길이입니다. 이것을 제곱하면
대각선의 길이 \(\sqrt{2}\)를 제곱한 것
\(=\)
근호 안의 수 \(2\)
\(\left(\sqrt{2}\right)^{2} = \sqrt{2} \times \sqrt{2} = 2\)
\(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41421356\)
이해의 핵심
넓이가 \(a\)인 정사각형을 떠올리면 그 한 변의 길이가 바로 \(\sqrt{a}\)입니다. 한 변을 제곱하면 넓이 \(a\)로 돌아온다는 것이 근호의 뜻 그 자체입니다.
\(\sqrt{2}\)나 \(\sqrt{3}\)은 분수로 나타낼 수 없는 수(무리수)로, 소수로 나타내면 끝도 없고 되풀이되지도 않습니다. 그래서 \(1.41421356\dots\)을 계속 쓰는 대신 \(\sqrt{2}\)라는 기호 하나로 정확한 값을 나타냅니다.
또한 제곱해서 \(a\)가 되는 수는 \(+\sqrt{a}\)와 \(-\sqrt{a}\)의 두 개가 있습니다. 기호 \(\sqrt{a}\)가 가리키는 것은 그중 양수 쪽뿐이라는 약속입니다.
근호를 간단히 하기(제곱인 인수를 밖으로 꺼내기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\sqrt{a^{2}b}\)
\(=\)
\(a\)
\(\sqrt{b}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
③
근호 안이 ‘제곱인 수 × 나머지’의 꼴인 제곱근
\(=\)
①
\(a\): 제곱인 인수의 제곱근(근호 밖으로 나옴)
②
\(\sqrt{b}\): 나머지의 제곱근(근호 안에 남음)
공식을 말로 읽으면
①
\(a\), \(b\)가 0 이상의 수일 때 근호 안을 ‘제곱인 인수 × 나머지’로 나누면,
\(a\): 제곱인 인수의 제곱근
은 근호 밖으로 나오고,
②
\(\sqrt{b}\): 나머지의 제곱근
은 근호 안에 남습니다. 이 둘을 곱한 것이
③
\(\sqrt{a^2b}\): 처음의 제곱근
과 같습니다.
간단한 예
\(48 = 2^4 \times 3 = 4^2 \times 3\)으로 나눌 수 있으므로 \(\sqrt{48}\)은
처음의 제곱근 \(\sqrt{48}\)
\(=\)
밖으로 나오는 \(4\)
안에 남는 \(\sqrt{3}\)
\(48 = 2^{4} \times 3 = 4^{2} \times 3\)
\(\sqrt{48} = \sqrt{4^{2} \times 3} = 4\sqrt{3} \fallingdotseq 6.9282\)
이해의 핵심
왜 밖으로 꺼낼 수 있는지는 \(\sqrt{a^2b} = \sqrt{a^2} \times \sqrt{b}\)로 나누어 생각하면 알 수 있습니다. \(\sqrt{a^2}\)은 ‘제곱하면 \(a^2\)이 되는 양수’이므로 \(a\) 그 자체입니다. 그래서 \(a\)만 근호 밖으로 나오고, 나머지 \(\sqrt{b}\)는 안에 남습니다.
제곱인 인수를 확실하게 찾는 방법이 소인수분해입니다. 같은 소인수가 2개 짝을 이룰 때마다 그 소인수를 1개씩 근호 밖으로 꺼낼 수 있고, 짝을 이루지 못하고 남은 소인수만 안에 남습니다. 예를 들어 \(72 = 2^3 \times 3^2\)이면 \(2\)는 3개이므로 한 쌍이 되어 \(2\)가 1개 밖으로 나오고 \(2\)가 1개 안에 남으며, \(3\)은 2개로 딱 한 쌍이므로 \(3\)이 1개 밖으로 나옵니다. 따라서 \(\sqrt{72} = 2 \times 3 \times \sqrt{2} = 6\sqrt{2}\)입니다.
근호를 간단히 하는 이유는 두 가지입니다. 하나는 크기를 알기 쉬워진다는 것입니다(\(\sqrt{48}\)이라고 하면 감이 잘 오지 않지만, \(4\sqrt{3}\)이라면 \(\sqrt{3} \fallingdotseq 1.73\)의 4배로 약 6.9라고 바로 짐작할 수 있습니다). 다른 하나는 같은 값이 같은 꼴이 되므로 답을 맞춰 보거나 식을 정리할 수 있게 된다는 것입니다.
근호의 덧셈·뺄셈(동류항 정리)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(p\sqrt{a}\)
\(+\)
\(q\sqrt{a}\)
\(=\)
\(\left(p+q\right)\sqrt{a}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
\(\sqrt{a}\)가 \(p\)개
\(+\)
②
\(\sqrt{a}\)가 \(q\)개
\(=\)
③
\(\sqrt{a}\)가 \(p+q\)개
공식을 말로 읽으면
①
근호 안의 수가 같은 \(a\)일 때,
\(\sqrt{a}\)가 \(p\)개
와
②
\(\sqrt{a}\)가 \(q\)개
는 같은 크기의 묶음이므로 개수를 더할 수 있어
③
\(\sqrt{a}\)가 \(p+q\)개
가 됩니다.
간단한 예
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2}\)는 둘 다 \(\sqrt{2}\)의 묶음이므로
\(\sqrt{2}\)가 3개
\(+\)
\(\sqrt{2}\)가 5개
\(=\)
\(\sqrt{2}\)가 8개
\(3\sqrt{2} + 5\sqrt{2} = \left(3+5\right)\sqrt{2} = 8\sqrt{2} \fallingdotseq 11.3137\)
이해의 핵심
‘사과 3개 + 사과 5개 = 사과 8개’와 같은 생각입니다. 문자식에서 \(3x + 5x = 8x\)로 정리할 때의 \(x\)가 여기서는 \(\sqrt{2}\)로 바뀌었을 뿐이며, 이것을 ‘동류항을 정리한다’고 합니다.
반대로 근호 안의 수가 다른 것은 하나로 정리할 수 없습니다. 여기서 가장 많이 하는 실수가 근호 안의 수끼리 더해 \(\sqrt{a} + \sqrt{b} = \sqrt{a+b}\)로 하는 것입니다. 이 식은 성립하지 않습니다. 정수가 되는 예로 확인하면 분명해집니다. \(\sqrt{9} + \sqrt{16} = 3 + 4 = 7\)이지만 \(\sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5\)로 전혀 다른 수입니다. 뺄셈도 마찬가지로 \(\sqrt{a} - \sqrt{b}\)가 \(\sqrt{a-b}\)가 되지도 않습니다.
그러므로 \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\)은 \(\sqrt{5}\)가 되지 않고(실제로 \(\sqrt{2} + \sqrt{3} \fallingdotseq 3.1463\)인 데 비해 \(\sqrt{5} \fallingdotseq 2.2361\)입니다), \(\sqrt{2} + \sqrt{3}\) 그대로 두는 것이 답입니다. 정리할 수 없는 것을 억지로 정리하지 않는 것이 올바른 답입니다.
겉모습이 달라도 근호를 간단히 하면 동류항이 되는 경우가 있습니다. \(\sqrt{2} + \sqrt{8}\)은 언뜻 정리되지 않을 것처럼 보이지만, \(\sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)이므로 \(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)로 정리됩니다. 덧셈과 뺄셈에서는 먼저 두 근호를 모두 간단히 하는 것이 첫걸음입니다.
근호의 곱셈(안의 수끼리 곱해 하나로 합치기)
그림
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\sqrt{a}\)
\(\times\)
\(\sqrt{b}\)
\(=\)
\(\sqrt{ab}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
\(a\)의 제곱근
\(\times\)
②
\(b\)의 제곱근
\(=\)
③
안의 수끼리 곱한 수 \(ab\)의 제곱근
공식을 말로 읽으면
①
\(a\), \(b\)가 모두 0 이상의 수일 때,
\(\sqrt{a}\): \(a\)의 제곱근
과
②
\(\sqrt{b}\): \(b\)의 제곱근
을 곱하면 안의 수끼리 곱해져
③
\(\sqrt{ab}\): \(ab\)의 제곱근
이 됩니다.
간단한 예
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6}\)은 안의 수끼리 곱해 \(\sqrt{18}\)로 만든 뒤 간단히 하면
\(\sqrt{3}\)
\(\times\)
\(\sqrt{6}\)
\(=\)
\(\sqrt{18}\)(간단히 하면 \(3\sqrt{2}\))
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18}\)
\(\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = 3\sqrt{2} \fallingdotseq 4.2426\)
이해의 핵심
세로가 \(\sqrt{a}\), 가로가 \(\sqrt{b}\)인 직사각형의 넓이가 \(\sqrt{ab}\)가 된다고 생각하면 이해하기 쉬운 식입니다. 곱셈은 덧셈과 달리 근호 안의 수가 달라도 하나의 근호로 합칠 수 있습니다.
근호 앞에 수가 붙어 있으면 앞의 수끼리, 근호 안의 수끼리 따로 곱합니다. 예를 들어 \(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2} = (2 \times 3)\sqrt{6 \times 2} = 6\sqrt{12}\)가 되고, 다시 \(\sqrt{12} = 2\sqrt{3}\)으로 간단히 해서 \(6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)이 답입니다. 곱한 뒤에는 근호 안의 수가 커져서 제곱인 인수가 생기기 쉬우므로, 마지막에 간단히 하는 것을 잊지 마세요.
같은 수끼리 곱하면 근호가 없어집니다(\(\sqrt{5} \times \sqrt{5} = \sqrt{25} = 5\)). 이것은 첫 번째 식 \(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)와 같은 내용입니다.
또한 이 식이 성립하는 것은 \(a\), \(b\)가 모두 0 이상일 때뿐입니다. 음수의 제곱근(허수)까지 넓히면 이대로 되지 않으므로, 근호 안에 음수가 들어가는 식에 이 계산을 적용해서는 안 됩니다.
근호의 나눗셈과 분모의 유리화
수학 표기
(일반적인 수식)
\(\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{a} \times \sqrt{b}}{\sqrt{b} \times \sqrt{b}}\)
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{ab}}{b}\)
말로 쓴 표기
(기호를 말로 바꾼 식)
①
분모에 근호가 남은 꼴
\(=\)
②
분모와 분자에 모두 \(\sqrt{b}\)를 곱한 꼴
\(=\)
③
분모가 정수 \(b\)인 꼴
공식을 말로 읽으면
①
\(a\)가 0 이상의 수, \(b\)가 양수(분모이므로 0은 안 됨)일 때, 나눗셈을 분수 꼴로 쓴
분모에 근호가 남은 꼴
을
②
분모와 분자에 모두 \(\sqrt{b}\)를 곱한 꼴
로 고치면 분모가 \(\sqrt{b} \times \sqrt{b} = b\)가 되어 근호가 사라지고,
③
분모가 정수 \(b\)인 꼴
이 됩니다.
간단한 예
\(1 \div \sqrt{3}\)을 분모에 근호가 남지 않는 꼴로 고치면
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(=\)
분모와 분자에 \(\sqrt{3}\)을 곱한 꼴
\(=\)
\(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)
\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{1 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3} \fallingdotseq 0.5774\)
이해의 핵심
분모와 분자에 같은 수를 곱해도 분수의 값은 바뀌지 않습니다. 이 성질을 이용해 분모에서만 근호를 없애는 것이 분모의 유리화입니다. 값은 그대로 두고 겉모습만 정리하는 계산이므로 \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)과 \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)은 둘 다 같은 수(약 0.5774)입니다.
답을 분모에 근호가 없는 꼴로 맞추는 것은, 그렇게 해 두면 크기를 알기 쉽고 답을 맞춰 보기도 쉽기 때문입니다. \(\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) 그대로라면 ‘1을 1.73…으로 나누는’ 수고가 필요하지만, \(\dfrac{\sqrt{3}}{3}\)이라면 ‘1.73…을 3으로 나누기’만 하면 짐작할 수 있습니다.
근호 앞에 수가 붙어 있어도 순서는 같으며, 앞의 수끼리 나눈 뒤 근호 부분을 유리화합니다(예: \(6\sqrt{6} \div 3\sqrt{2} = 2\sqrt{3}\)). 또한 분모가 \(\sqrt{3} + 1\)처럼 두 항으로 되어 있을 때는 곱하는 수를 바꾸는 다른 방법(켤레식을 쓰는 방법)이 필요합니다. 이 계산기가 다루는 것은 분모가 근호 하나인 경우입니다.
근호를 간단히 하기란 근호 안의 수를 소인수분해해 제곱인 인수를 찾고, 그 제곱근을 근호 밖으로 꺼내는 계산입니다(\(\sqrt{a^2b} = a\sqrt{b}\)). 덧셈·뺄셈에서는 근호 안의 수가 같은 것(동류항)끼리만 정리할 수 있고, 곱셈·나눗셈에서는 근호 안의 수끼리 곱하거나 나눌 수 있습니다. 나눗셈의 답은 분모에 근호를 남기지 않는 꼴(분모를 유리화한 꼴)로 맞추는 것이 약속입니다.
용어·기호 해설
기호
| \(\sqrt{\phantom{a}}\) | 루트(근호) | 제곱근을 나타내는 기호로, 근호라고 합니다. 라틴어로 뿌리를 뜻하는 radix의 첫 글자 r을 흘려 쓴 모양에서 왔다고 합니다. 읽을 때는 보통 ‘루트’라고 하며, \(\sqrt{9} = 3\)처럼 제곱하면 안의 수가 되는 양수를 나타냅니다. |
| \(\sqrt{a}\) | 루트 에이 | \(a\)의 제곱근 중 양수인 것입니다. 제곱하면 \(a\)로 돌아옵니다(\(\left(\sqrt{a}\right)^2 = a\)). 근호 안에 들어가는 \(a\)는 0 이상의 수로 한정됩니다. |
| \(a\sqrt{b}\) | 에이 루트 비 | \(a\)와 \(\sqrt{b}\)의 곱입니다(곱셈 기호를 생략했습니다). 근호를 간단히 한 답은 이 꼴이 되며, \(a\)가 근호 밖으로 나온 수, \(b\)가 근호 안에 남은 수입니다. |
| \(a^2\) | 에이의 제곱 | \(a\)를 두 번 곱한 것(\(a \times a\))입니다. 오른쪽 위에 작게 쓰는 2가 ‘곱하는 횟수’를 나타냅니다. 근호를 간단히 할 때는 근호 안에서 이 꼴을 찾아내는 것이 첫 번째 일입니다. |
| \(\fallingdotseq\) | 근사적으로 같다 | 거의 같음을 나타내는 기호입니다. 근호의 값은 딱 떨어지지 않으므로 소수로 쓸 때는 \(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.41421356\)처럼 이 기호를 씁니다. 같은 뜻으로 ≈를 쓰기도 합니다. |
| \(p, q\) | 피, 큐 | 근호 앞에 곱해진 수를 나타낼 때 자주 쓰는 문자입니다. 이 페이지에서는 \(p\sqrt{a} + q\sqrt{a}\)처럼 ‘\(\sqrt{a}\)가 몇 개인가’를 나타내는 수로 쓰고 있습니다. |
| \(<\) | 작다 | 왼쪽이 오른쪽보다 작음을 나타내는 기호입니다. 이 페이지에서는 \(6 < 4\sqrt{3} < 7\)처럼 근호의 값이 어느 정수와 어느 정수 사이에 있는지 나타내는 데 씁니다. |
용어
| 제곱근 | 제곱하면 그 수가 되는 수입니다. \(9\)의 제곱근은 \(3\)과 \(-3\)의 두 개입니다. 이 중 양수인 것을 \(\sqrt{9}\), 음수인 것을 \(-\sqrt{9}\)로 씁니다. |
| 근호 | 제곱근을 나타내는 기호 √입니다. ‘루트’라고 읽습니다. \(\sqrt{5}\)처럼 안에 넣은 수의 제곱근(양수인 것)을 나타냅니다. |
| 근호를 간단히 하기 | 식의 값은 바꾸지 않고 더 간단한 꼴로 고치는 것입니다. 근호 안의 수가 가능한 한 작은 자연수가 되도록 제곱인 인수를 근호 밖으로 꺼내 \(a\sqrt{b}\) 꼴로 나타냅니다(\(\sqrt{48} \to 4\sqrt{3}\)). |
| 제곱수 | \(1, 4, 9, 16, 25, 36, \dots\)처럼 정수를 제곱해서 만들어지는 수입니다. 근호 안이 이 꼴이면 근호가 없어지고 정수가 됩니다(\(\sqrt{36} = 6\)). |
| 제곱인 인수 | 어떤 수의 약수 중 제곱수인 것입니다. \(48\)에는 \(16 = 4^2\)이라는 제곱인 인수가 있으므로 \(\sqrt{48} = 4\sqrt{3}\)으로 간단히 할 수 있습니다. 제곱인 인수가 \(1\)뿐인 수(\(2, 3, 5, 6, 7, 10, \dots\))는 더 이상 간단히 할 수 없습니다. |
| 소인수분해 | 정수를 소수만의 곱으로 나타내는 것입니다(\(48 = 2^4 \times 3\)). 같은 소인수가 2개 짝을 이룰 때마다 하나를 근호 밖으로 꺼낼 수 있으므로, 지수가 짝수인 소인수는 모두 밖으로 나오고 지수가 홀수인 소인수는 하나가 안에 남습니다. 제곱인 인수를 확실하게 찾는 방법입니다. |
| 소수 | \(2, 3, 5, 7, 11, \dots\)처럼 1과 자기 자신으로만 나누어떨어지는 2 이상의 정수입니다(0.5 같은 소수(정수가 아닌 수를 소수점으로 나타낸 것)와는 다른 말입니다). 소인수분해의 재료가 됩니다. |
| 동류항 | 식에서 문자 부분이 완전히 같은 항끼리입니다. \(3x\)와 \(5x\) 같은 관계입니다. 근호에서는 \(3\sqrt{2}\)와 \(5\sqrt{2}\)처럼 근호 안의 수가 같은 것이 동류항이며, 이것만 하나로 정리할 수 있습니다. |
| 분모의 유리화 | 분모에 근호가 있는 분수를, 분모와 분자에 같은 수를 곱해 분모에서 근호를 없앤 꼴로 고치는 것입니다. 값은 바뀌지 않습니다(\(\dfrac{1}{\sqrt{3}} = \dfrac{\sqrt{3}}{3}\)). |
| 유리수 | 정수끼리의 분수로 나타낼 수 있는 수입니다. 정수, 유한소수, 순환소수는 모두 유리수입니다. ‘유리’는 비(ratio)로 나타낼 수 있다는 뜻입니다. |
| 무리수 | 분수로 나타낼 수 없는 수입니다. 소수로 나타내면 끝도 없고 되풀이되지도 않습니다. \(\sqrt{2}\), \(\sqrt{3}\), 원주율 \(\pi\) 등이 무리수입니다. |
| 실수 | 유리수와 무리수를 합친, 수직선 위의 점에 대응하는 모든 수입니다. 이 페이지에서 다루는 것은 실수 범위의 제곱근입니다. |
| 근삿값 | 정확한 값 대신 쓰는 대략적인 값입니다. \(\sqrt{2} \fallingdotseq 1.414\)의 우변이 근삿값입니다. 근호의 값은 딱 떨어지지 않으므로 소수로 쓰면 반드시 근삿값이 됩니다. |
| 허수 | 실수가 아닌 수입니다. 제곱해서 \(-1\)이 되는 수를 \(i\)로 정하면 \(-4\)의 제곱근은 \(2i\)와 \(-2i\)입니다. 음수의 제곱근은 허수가 되어 실수가 아니므로 수직선 위에 나타낼 수 없습니다. 고등학교 1학년에서 복소수와 함께 배웁니다. |
| 이중근호 | \(\sqrt{5 + 2\sqrt{6}}\)처럼 근호 안에 또 근호가 들어 있는 식입니다. 조건이 맞으면 \(\sqrt{3} + \sqrt{2}\)처럼 근호가 겹치지 않는 꼴로 고칠 수 있습니다. 이 계산기에서는 다루지 않습니다. |
| 수직선 | 수를 한 직선 위의 점으로 나타낸 것입니다. 근호의 값이 어느 정도의 크기인지, 어느 정수와 어느 정수 사이에 있는지 눈으로 확인할 수 있습니다. |
먼저 알아 두면 좋은 내용
이 페이지의 계산을 ‘뜻을 이해하고’ 쓸 수 있도록, 미리 알아 두면 좋은 내용을 정리했습니다.
막히면 이 표의 내용으로 돌아가 복습하는 것이 지름길입니다.
| 거듭제곱(중학교 1학년, 12~13세) |
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| 소인수분해(중학교 1학년, 12~13세) |
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| 제곱근의 뜻(중학교 3학년, 14~15세) |
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| 문자와 식의 동류항(중학교 1학년, 12~13세) |
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| 분수의 계산과 약분(초등학교 5학년~중학교 1학년, 10~13세) |
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| 피타고라스 정리(중학교 2학년, 13~14세) |
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Excel로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Excel의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
제곱근과 근호의 뜻을 확인하는 표
| 근호 안의 수 a | 3 |
| √a의 값 | =SQRT(B1) |
| √a를 제곱한 값(B1로 돌아옴) | =B2^2 |
근호를 간단히 한 결과를 확인하는 표
| 근호 밖으로 꺼내는 수 a | 4 |
| 근호 안에 남는 수 b | 3 |
| 처음의 수 a²×b | =B1^2*B2 |
| √(a²b)의 값 | =SQRT(B3) |
| a√b의 값(같은 값이 됨) | =B1*SQRT(B2) |
근호의 덧셈을 확인하는 표
| 근호 안의 수 a | 2 |
| 첫 번째 근호 앞의 수 p | 3 |
| 두 번째 근호 앞의 수 q | 5 |
| p√a + q√a의 값 | =B2*SQRT(B1)+B3*SQRT(B1) |
| (p+q)√a의 값(같은 값이 됨) | =(B2+B3)*SQRT(B1) |
근호의 곱셈을 확인하는 표
| 첫 번째 근호 안의 수 a | 3 |
| 두 번째 근호 안의 수 b | 6 |
| √a × √b의 값 | =SQRT(B1)*SQRT(B2) |
| √(ab)의 값(같은 값이 됨) | =SQRT(B1*B2) |
| 간단히 한 3√2의 값(같은 값이 됨) | =3*SQRT(2) |
분모의 유리화를 확인하는 표
| 근호 안의 수 b | 3 |
| 1 ÷ √b의 값 | =1/SQRT(B1) |
| √b ÷ b의 값(같은 값이 됨) | =SQRT(B1)/B1 |
표를 복사해 A1 셀에 붙여 넣으면 위쪽 행이 입력란, 아래쪽 행이 자동으로 계산된 결과가 됩니다. SQRT는 제곱근을 구하는 함수, ‘^’는 거듭제곱의 기호입니다.
첫 번째 표는 a에 3을 넣은 것으로, √3은 1.732050808…이고 이를 제곱하면 3으로 돌아옵니다.
두 번째 표는 a에 4, b에 3을 넣은 것으로, 처음의 수는 48이 되고 √48과 4√3이 둘 다 6.928203230…으로 같은 값이 됩니다.
세 번째 표는 3√2 + 5√2로 두 계산 모두 11.31370850…, 네 번째 표는 √3 × √6으로 세 식 모두 4.242640687…이 됩니다.
다섯 번째 표는 1 ÷ √3으로, 유리화한 √3 ÷ 3도 같은 0.5773502692…가 됩니다. 수치를 바꿔 보면 어떤 조합이든 성립하는 것을 확인할 수 있습니다.
또한 Excel이 보여 주는 것은 소수의 근삿값입니다. 4√3 같은 정확한 꼴은 이 페이지의 계산기로 확인해 주세요.
첫 번째 표는 a에 3을 넣은 것으로, √3은 1.732050808…이고 이를 제곱하면 3으로 돌아옵니다.
두 번째 표는 a에 4, b에 3을 넣은 것으로, 처음의 수는 48이 되고 √48과 4√3이 둘 다 6.928203230…으로 같은 값이 됩니다.
세 번째 표는 3√2 + 5√2로 두 계산 모두 11.31370850…, 네 번째 표는 √3 × √6으로 세 식 모두 4.242640687…이 됩니다.
다섯 번째 표는 1 ÷ √3으로, 유리화한 √3 ÷ 3도 같은 0.5773502692…가 됩니다. 수치를 바꿔 보면 어떤 조합이든 성립하는 것을 확인할 수 있습니다.
또한 Excel이 보여 주는 것은 소수의 근삿값입니다. 4√3 같은 정확한 꼴은 이 페이지의 계산기로 확인해 주세요.
Google 스프레드시트로 계산하는 방법
아래 표를 통째로 복사해 Google 스프레드시트의 A1 셀에 붙여 넣으면 그대로 사용할 수 있습니다.
제곱근과 근호의 뜻을 확인하는 표
| 근호 안의 수 a | 3 |
| √a의 값 | =SQRT(B1) |
| √a를 제곱한 값(B1로 돌아옴) | =B2^2 |
근호를 간단히 한 결과를 확인하는 표
| 근호 밖으로 꺼내는 수 a | 4 |
| 근호 안에 남는 수 b | 3 |
| 처음의 수 a²×b | =B1^2*B2 |
| √(a²b)의 값 | =SQRT(B3) |
| a√b의 값(같은 값이 됨) | =B1*SQRT(B2) |
근호의 덧셈을 확인하는 표
| 근호 안의 수 a | 2 |
| 첫 번째 근호 앞의 수 p | 3 |
| 두 번째 근호 앞의 수 q | 5 |
| p√a + q√a의 값 | =B2*SQRT(B1)+B3*SQRT(B1) |
| (p+q)√a의 값(같은 값이 됨) | =(B2+B3)*SQRT(B1) |
근호의 곱셈을 확인하는 표
| 첫 번째 근호 안의 수 a | 3 |
| 두 번째 근호 안의 수 b | 6 |
| √a × √b의 값 | =SQRT(B1)*SQRT(B2) |
| √(ab)의 값(같은 값이 됨) | =SQRT(B1*B2) |
| 간단히 한 3√2의 값(같은 값이 됨) | =3*SQRT(2) |
분모의 유리화를 확인하는 표
| 근호 안의 수 b | 3 |
| 1 ÷ √b의 값 | =1/SQRT(B1) |
| √b ÷ b의 값(같은 값이 됨) | =SQRT(B1)/B1 |
Excel과 같은 수식을 그대로 쓸 수 있습니다. 표를 통째로 복사해 A1 셀에 붙여 넣고, 수치를 자신의 것으로 고쳐 써 주세요.
Python으로 계산하는 방법
from math import isqrt
def simplify_radical(n):
# √n을 a√b(b에는 제곱인 인수가 없음)로 고쳐 (a, b)를 돌려줍니다
outside = 1
inside = n
d = 2
while d * d <= inside:
while inside % (d * d) == 0:
inside //= d * d
outside *= d
d += 1
return outside, inside
outside, inside = simplify_radical(48)
if inside == 1:
print(f"√48 = {outside}")
else:
print(f"√48 = {outside}√{inside}")
# 소수의 값으로도 확인합니다(같은 값이 됩니다)
print(48 ** 0.5, outside * inside ** 0.5)
# 근호 안이 제곱수이면 근호가 없어집니다
print(simplify_radical(36), isqrt(36))
표준 라이브러리만으로 쓸 수 있습니다. d를 2부터 차례로 시험해, d의 제곱으로 나누어떨어지는 동안 계속 나누고 그때마다 d를 하나씩 근호 밖으로 꺼냅니다. 실행하면 ‘√48 = 4√3’, 이어서 6.928203230275509가 두 번 표시되어 간단히 하기 전과 후의 값이 같음을 확인할 수 있습니다. 마지막 줄은 근호가 없어지는 √36의 예로, (6, 1)과 6이 표시됩니다. 수를 고쳐 써서 시험해 보세요.
LaTeX 등 수식 언어로 쓰는 법(복사 가능)
제곱근과 근호의 뜻
(√a)² = a
\left(\sqrt{a}\right)^{2} = a
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msup>
<mrow><mo>(</mo><msqrt><mi>a</mi></msqrt><mo>)</mo></mrow>
<mn>2</mn>
</msup>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
</mrow>
</math>
(sqrt(a))^2 = a
Sqrt[a]^2 == a
sqrt(a)^2 = a;
sqrt(a)^2 == a
(√a)^2 = a
근호를 간단히 하기(제곱인 인수를 밖으로 꺼내기)
√(a²b) = a√b
\sqrt{a^{2}b} = a\sqrt{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mrow><msup><mi>a</mi><mn>2</mn></msup><mi>b</mi></mrow></msqrt>
<mo>=</mo>
<mi>a</mi>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a^2 b) = a sqrt(b)
Sqrt[a^2 b] == a Sqrt[b]
sqrt(a^2*b) = a*sqrt(b);
sqrt(a^2*b) == a*sqrt(b)
√(a^2 b) = a√b
근호의 덧셈·뺄셈(동류항 정리)
p√a + q√a = (p + q)√a
p\sqrt{a} + q\sqrt{a} = \left(p + q\right)\sqrt{a}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mi>p</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>+</mo>
<mi>q</mi><msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<mo>(</mo><mi>p</mi><mo>+</mo><mi>q</mi><mo>)</mo>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
</mrow>
</math>
p sqrt(a) + q sqrt(a) = (p + q) sqrt(a)
p Sqrt[a] + q Sqrt[a] == (p + q) Sqrt[a]
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) = (p + q)*sqrt(a);
p*sqrt(a) + q*sqrt(a) == (p + q)*sqrt(a)
p√a + q√a = (p + q)√a
근호의 곱셈(안의 수끼리 곱해 하나로 합치기)
√a × √b = √(ab)
\sqrt{a} \times \sqrt{b} = \sqrt{ab}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<msqrt><mi>a</mi></msqrt>
<mo>×</mo>
<msqrt><mi>b</mi></msqrt>
<mo>=</mo>
<msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt>
</mrow>
</math>
sqrt(a) * sqrt(b) = sqrt(a b)
Sqrt[a] Sqrt[b] == Sqrt[a b]
sqrt(a)*sqrt(b) = sqrt(a*b);
sqrt(a)*sqrt(b) == sqrt(a*b)
√a × √b = √(ab)
근호의 나눗셈과 분모의 유리화
√a ÷ √b = √(ab) / b
\frac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{a}\sqrt{b}}{\sqrt{b}\sqrt{b}} = \frac{\sqrt{ab}}{b}
<math xmlns="http://www.w3.org/1998/Math/MathML" display="block">
<mrow>
<mfrac><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac>
<mrow><msqrt><mi>a</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
<mrow><msqrt><mi>b</mi></msqrt><msqrt><mi>b</mi></msqrt></mrow>
</mfrac>
<mo>=</mo>
<mfrac><msqrt><mrow><mi>a</mi><mi>b</mi></mrow></msqrt><mi>b</mi></mfrac>
</mrow>
</math>
sqrt(a)/sqrt(b) = (sqrt(a) sqrt(b))/(sqrt(b) sqrt(b)) = sqrt(a b)/b
Sqrt[a]/Sqrt[b] == Sqrt[a b]/b
sqrt(a)/sqrt(b) = sqrt(a*b)/b;
sqrt(a)/sqrt(b) == sqrt(a*b)/b
√a/√b = √(ab)/b
ChatGPT 에게 물어서 계산하는 방법
당신은 수학(제곱근) 계산 도우미입니다. 다음 계산은 반드시 Python 코드를 실제로 실행해서 하고, 실행 결과의 수치만을 근거로 답해 주세요(암산이나 추측으로 답하지 마세요). 1. √48을 근호 안의 수가 가능한 한 작은 자연수가 되도록 간단히 해 주세요. 2. 그 과정에서 쓴 48의 소인수분해도 보여 주세요. 3. 3√2 + 5√2, 2√6 × 3√2, 6 ÷ √3을 각각 근호를 간단히 한 꼴로 답해 주세요(나눗셈은 분모에 근호가 남지 않는 꼴로). Python에서는 근호 안의 수를 소인수분해해 제곱인 인수를 꺼내는 함수를 직접 쓰고, 간단히 하기 전과 후의 소수 값이 같은지도 확인해 주세요. 사용한 코드와 실행 결과의 수치를 보여 주세요.
사용법
-
1숫자 입력계산하고 싶은 숫자를 입력란에 입력합니다
-
2계산‘계산’ 버튼을 누릅니다
-
3결과 확인계산 결과가 바로 표시됩니다. 계산의 원리와 공식 해설도 같은 페이지에서 확인할 수 있습니다
DataChef의 특징
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