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曲線 \(y = x^{2}\) の \(x = 1\) における接線の方程式を求めましょう。
解答：\(y = 2x - 1\)
まず微分して、接線の傾き（微分係数）を求めます。
\(f(x) = x^{2}\) を微分すると
\(f'(x) = 2x\)
接点の \(x\) 座標 \(1\) を代入すると、接線の傾きは
\(f'(1) = 2\)
接点の高さは \(f(1) = 1\) なので、接点は \((1,\ 1)\) です。
傾き \(2\) で点 \((1,\ 1)\) を通る直線の式を書き、整理します。
\(y = 2(x - 1) + 1 = 2x - 1\)
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曲線 \(y = x^{2} - 4x + 3\) の \(x = 3\) における接線の方程式を求めましょう。
解答：\(y = 2x - 6\)
微分して傾きを求めます。
\(f'(x) = 2x - 4\)
\(x = 3\) を代入すると、接線の傾きは
\(f'(3) = 2 \times 3 - 4 = 2\)
接点の高さは
\(f(3) = 9 - 12 + 3 = 0\)
よって接点は \((3,\ 0)\) で、接線は
\(y = 2(x - 3) + 0 = 2x - 6\)
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曲線 \(y = x^{2}\) の \(x = 1\) における法線の方程式を求めましょう。
解答：\(y = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\)
問1より、\(x = 1\) での接線の傾きは \(f'(1) = 2\)、接点は \((1,\ 1)\) です。
法線は接線と垂直なので、傾きは「逆数にしてマイナス」です。
\(-\dfrac{1}{f'(1)} = -\dfrac{1}{2}\)
傾き \(-\dfrac{1}{2}\) で接点 \((1,\ 1)\) を通る直線を整理します。
\(y = -\dfrac{1}{2}(x - 1) + 1 = -\dfrac{1}{2}x + \dfrac{3}{2}\)
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曲線 \(y = x^{2} - 2x\) の \(x = 1\) における接線と法線の方程式を求めましょう。
解答：接線 \(y = -1\)、法線 \(x = 1\)
微分して傾きを求めます。
\(f'(x) = 2x - 2\)
\(x = 1\) を代入すると
\(f'(1) = 0\)
傾きが \(0\)、つまり接線は水平な直線です。
接点の高さが \(f(1) = 1 - 2 = -1\) なので、接線は
\(y = -1\)
法線は接線と垂直です。
水平な接線と垂直に交わる直線は \(y\) 軸に平行な直線なので、法線は接点 \((1,\ -1)\) を通る
\(x = 1\)
傾きが \(0\) のときは \(-\dfrac{1}{f'(t)}\) の式は使えない（\(0\) で割れない）ことに注意しましょう。
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曲線 \(y = x^{3} - 3x\) の \(x = 2\) における接線の方程式を求めましょう。
解答：\(y = 9x - 16\)
微分して傾きを求めます。
\(f'(x) = 3x^{2} - 3\)
\(x = 2\) を代入すると、接線の傾きは
\(f'(2) = 3 \times 2^{2} - 3 = 9\)
接点の高さは
\(f(2) = 8 - 6 = 2\)
よって接点は \((2,\ 2)\) で、接線は
\(y = 9(x - 2) + 2 = 9x - 16\)
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点 \(\mathrm{P}(1,\ 0)\) から曲線 \(y = x^{2}\) に引いた接線の方程式をすべて求めましょう。
解答：\(y = 0\) と \(y = 4x - 4\)
\(\mathrm{P}\) は曲線の上にない（\(1^{2} \neq 0\)）ので、接点の \(x\) 座標を \(t\) とおきます。
\(f'(x) = 2x\) より、接点 \(\left(t,\ t^{2}\right)\) での接線は
\(y = 2t(x - t) + t^{2}\)
この接線が \(\mathrm{P}(1,\ 0)\) を通るので、\(x = 1,\ y = 0\) を代入します。
\(0 = 2t(1 - t) + t^{2}\)
\(t^{2} - 2t = 0\)
\(t(t - 2) = 0\)
\(t = 0,\ 2\)
\(t = 0\) のとき、傾き \(f'(0) = 0\)・接点 \((0,\ 0)\) なので接線は
\(y = 0\)
\(t = 2\) のとき、傾き \(f'(2) = 4\)・接点 \((2,\ 4)\) なので接線は
\(y = 4(x - 2) + 4 = 4x - 4\)