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次の和を求めましょう。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} k\)
解答：\(210\)
1から \(n\) までの整数の和の公式を使います。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k = \dfrac{n(n+1)}{2}\)
\(n = 20\) を代入します。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{20} k = \dfrac{20 \times 21}{2} = \dfrac{420}{2} = 210\)
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次の和を求めましょう。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k^{2}\)
解答：\(91\)
2乗の和の公式を使います。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k^{2} = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6}\)
\(n = 6\) なので、\(n+1 = 7\)、\(2n+1 = 13\) を掛けて 6 で割ります。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{6} k^{2} = \dfrac{6 \times 7 \times 13}{6} = \dfrac{546}{6} = 91\)
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次の和を \(n\) の式で表しましょう。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 4\)
解答：\(4n\)
中身に \(k\) が入っていませんが、\(4\) を \(n\) 個ぶん足すという意味です。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} 4 = 4 + 4 + \cdots + 4 = 4n\)
答えを \(4\) としないように気をつけてください。
定数の和は「定数に項数を掛けたもの」で、ここでは項数が \(n\) 個です。
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次の和を \(n\) の式で表しましょう。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k - 1)\)
解答：\(n^{2}\)
まず項ごとに分けて、係数をΣの前に出します。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} (2k - 1) = 2\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k - \displaystyle\sum_{k=1}^{n} 1\)
それぞれに公式を当てはめます。
\(= 2 \times \dfrac{n(n+1)}{2} - n = n(n+1) - n\)
かっこを外して整理します。
\(= n^{2} + n - n = n^{2}\)
これは「奇数を小さい方から \(n\) 個足すと \(n\) の2乗になる」という有名な結果です。
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次の和を \(n\) の式で表しましょう。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} k(k+1)\)
解答：\(\dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\)
中身のかっこを先に外して、\(k\) の多項式の形にします。
\(k(k+1) = k^{2} + k\)
項ごとに分けて公式を当てはめます。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{n} \left(k^{2} + k\right) = \dfrac{n(n+1)(2n+1)}{6} + \dfrac{n(n+1)}{2}\)
分母を 6 にそろえて通分します。
\(= \dfrac{n(n+1)(2n+1) + 3n(n+1)}{6}\)
共通する \(n(n+1)\) をくくり出します。
\(= \dfrac{n(n+1)\left\{(2n+1) + 3\right\}}{6} = \dfrac{n(n+1)(2n+4)}{6}\)
\(2n+4 = 2(n+2)\) なので、分子と分母を 2 で約分できます。
\(= \dfrac{2n(n+1)(n+2)}{6} = \dfrac{n(n+1)(n+2)}{3}\)
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次の和を求めましょう。
\(\displaystyle\sum_{k=5}^{12} k\)
解答：\(68\)
公式は \(k = 1\) から始まる和にしか使えないので、1から始まる形に直します。
\(\displaystyle\sum_{k=5}^{12} k = \displaystyle\sum_{k=1}^{12} k - \displaystyle\sum_{k=1}^{4} k\)
引く分の上端が \(4\)（\(= 5 - 1\)）であることに注意してください。
それぞれを公式で求めます。
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{12} k = \dfrac{12 \times 13}{2} = 78\)
\(\displaystyle\sum_{k=1}^{4} k = \dfrac{4 \times 5}{2} = 10\)
最後に引き算します。
\(78 - 10 = 68\)