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次の割り算の商と余りを求めましょう。
\(\left(x^{2} + 5x + 6\right) \div (x + 2)\)
解答：商 \(x + 3\)、余り \(0\)
最高次の項どうしを割って、商の1つ目の項を決めます。
\(x^{2} \div x = x\)
この \(x\) に割る式を掛けたものを引きます。
\(x(x + 2) = x^{2} + 2x\)
\(\left(x^{2} + 5x + 6\right) - \left(x^{2} + 2x\right) = 3x + 6\)
残った \(3x + 6\) はまだ \(1\) 次式なので、もう一段進みます。
\(3x \div x = 3\)
\(3(x + 2) = 3x + 6\)
\((3x + 6) - (3x + 6) = 0\)
よって商は \(x + 3\)、余りは \(0\) です。
割り切れたので \(x^{2} + 5x + 6 = (x + 2)(x + 3)\) と因数分解できたことにもなります。
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次の割り算の商と余りを求めましょう。
\(\left(2x^{3} + 3x^{2} - 4\right) \div (x + 2)\)
解答：商 \(2x^{2} - x + 2\)、余り \(-8\)
割られる式には \(x\) の項がありません。筆算では、その列を空けたまま（係数 \(0\) として）進めます。
\(2x^{3} \div x = 2x^{2}\)
\(2x^{2}(x + 2) = 2x^{3} + 4x^{2}\)
\(\left(2x^{3} + 3x^{2} - 4\right) - \left(2x^{3} + 4x^{2}\right) = -x^{2} - 4\)
次の段です。
\(-x^{2} \div x = -x\)
\(-x(x + 2) = -x^{2} - 2x\)
\(\left(-x^{2} - 4\right) - \left(-x^{2} - 2x\right) = 2x - 4\)
最後の段です。
\(2x \div x = 2\)
\(2(x + 2) = 2x + 4\)
\((2x - 4) - (2x + 4) = -8\)
残った \(-8\) は定数なので、割る式（\(1\) 次式）より次数が小さく、ここで終わりです。
よって商は \(2x^{2} - x + 2\)、余りは \(-8\) です。
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次の割り算の商と余りを求めましょう。
\(\left(x^{3} + 2x^{2} - x + 3\right) \div \left(x^{2} + 1\right)\)
解答：商 \(x + 2\)、余り \(-2x + 1\)
割る式が \(2\) 次式なので、余りは \(1\) 次式か定数になるまで割り進めます。
\(x^{3} \div x^{2} = x\)
\(x\left(x^{2} + 1\right) = x^{3} + x\)
\(\left(x^{3} + 2x^{2} - x + 3\right) - \left(x^{3} + x\right) = 2x^{2} - 2x + 3\)
残った式はまだ \(2\) 次式なので、もう一段進みます。
\(2x^{2} \div x^{2} = 2\)
\(2\left(x^{2} + 1\right) = 2x^{2} + 2\)
\(\left(2x^{2} - 2x + 3\right) - \left(2x^{2} + 2\right) = -2x + 1\)
残った \(-2x + 1\) は \(1\) 次式で、割る式の \(2\) 次より小さいのでここで終わりです。
よって商は \(x + 2\)、余りは \(-2x + 1\) です。
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次の割り算の商と余りを求めましょう。
\((2x + 1) \div \left(x^{2} + 3\right)\)
解答：商 \(0\)、余り \(2x + 1\)
割られる式は \(1\) 次式、割る式は \(2\) 次式です。
筆算の1段目で商に立てる項を作ろうとすると、次のようになります。
\(2x \div x^{2} = \dfrac{2}{x}\)
これは \(x\) のべき乗に数を掛けた項ではないので、商の項として立てられません。つまり一度も割れないということです。
割り算を終える条件は「残った式の次数が、割る式の次数より小さいこと」でした。\(2x + 1\) は \(1\) 次式で、割る式の \(2\) 次より小さいので、最初からこの条件を満たしています。
よって商は \(0\)、余りは \(2x + 1\) です。
割り算の関係の式に書くと次のようになります。
\(2x + 1 = \left(x^{2} + 3\right) \times 0 + (2x + 1)\)
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剰余の定理を使って、次の割り算の余りを求めましょう。
\(\left(x^{4} - 3x^{2} + 2x - 1\right) \div (x + 2)\)
解答：\(-1\)
割る式が \(0\) になる値を求めます。
\(x + 2 = 0\) より \(x = -2\)
剰余の定理より、余りは割られる式に \(x = -2\) を代入した値です。
\(P(-2) = (-2)^{4} - 3 \times (-2)^{2} + 2 \times (-2) - 1\)
\(= 16 - 12 - 4 - 1 = -1\)
よって余りは \(-1\) です。筆算をしなくても、代入だけで余りが求められます。
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\(x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6\) が \(x - 2\) で割り切れるかを調べ、割り切れる場合は商も求めましょう。
解答：割り切れる。商は \(x^{2} + 4x + 3\)
まず因数定理で、割り切れるかどうかを確かめます。\(x - 2 = 0\) となる \(x = 2\) を代入します。
\(P(2) = 2^{3} + 2 \times 2^{2} - 5 \times 2 - 6 = 8 + 8 - 10 - 6 = 0\)
\(P(2) = 0\) なので、\(x - 2\) で割り切れます。
商は組立除法で求められます。係数 \(1,\ 2,\ -5,\ -6\) を並べ、割る値 \(2\) で計算します。先頭の \(1\) はそのまま下ろし、次の列からは、割る値と左隣の下の段の数の積を、上の段の数に足していきます。
\(2 + 2 \times 1 = 4\)
\(-5 + 2 \times 4 = 3\)
\(-6 + 2 \times 3 = 0\)
下の段は \(1,\ 4,\ 3\)、最後の \(0\) が余りです。
よって商は \(x^{2} + 4x + 3\) で、\(x^{3} + 2x^{2} - 5x - 6 = (x - 2)\left(x^{2} + 4x + 3\right)\) と書けます。
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次の割り算の商と余りを求めましょう。
\(\left(x^{4} + 1\right) \div \left(x^{2} + x\right)\)
解答：商 \(x^{2} - x + 1\)、余り \(-x + 1\)
割られる式は \(x^{3}\)・\(x^{2}\)・\(x\) の項が欠けています。筆算ではその列を空けて、次数をそろえて並べます。
\(x^{4} \div x^{2} = x^{2}\)
\(x^{2}\left(x^{2} + x\right) = x^{4} + x^{3}\)
\(\left(x^{4} + 1\right) - \left(x^{4} + x^{3}\right) = -x^{3} + 1\)
次の段です。
\(-x^{3} \div x^{2} = -x\)
\(-x\left(x^{2} + x\right) = -x^{3} - x^{2}\)
\(\left(-x^{3} + 1\right) - \left(-x^{3} - x^{2}\right) = x^{2} + 1\)
最後の段です。
\(x^{2} \div x^{2} = 1\)
\(1 \times \left(x^{2} + x\right) = x^{2} + x\)
\(\left(x^{2} + 1\right) - \left(x^{2} + x\right) = -x + 1\)
残った \(-x + 1\) は \(1\) 次式で、割る式の \(2\) 次より小さいので終わりです。
よって商は \(x^{2} - x + 1\)、余りは \(-x + 1\) です。