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2組のデータ \(x\)：1, 3、\(y\)：5, 1 の共分散 \(s_{xy}\) を求めましょう。
解答：\(-2\)
まず平均を求めます。
\(\bar{x} = (1 + 3) \div 2 = 2\)
\(\bar{y} = (5 + 1) \div 2 = 3\)
各組の偏差の積を計算します。
1組目：\((1 - 2)(5 - 3) = (-1) \times 2 = -2\)
2組目：\((3 - 2)(1 - 3) = 1 \times (-2) = -2\)
積の合計を組数2で割ります。
\(s_{xy} = \{(-2) + (-2)\} \div 2 = -4 \div 2 = -2\)
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3組のデータ \(x\)：2, 4, 6、\(y\)：1, 2, 3 の共分散 \(s_{xy}\) を求めましょう。
解答：\(\dfrac{4}{3}\)
平均は \(\bar{x} = 4\)、\(\bar{y} = 2\) です。
各組の偏差の積を計算します。
1組目：\((2 - 4)(1 - 2) = (-2) \times (-1) = 2\)
2組目：\((4 - 4)(2 - 2) = 0 \times 0 = 0\)
3組目：\((6 - 4)(3 - 2) = 2 \times 1 = 2\)
積の合計を組数3で割ります。
\(s_{xy} = (2 + 0 + 2) \div 3 = \dfrac{4}{3}\)
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共分散が \(s_{xy} = 6\)、標準偏差が \(s_x = 2\)、\(s_y = 5\) のとき、相関係数 \(r\) を求めましょう。
解答：\(0.6\)
相関係数は、共分散を標準偏差の積で割って求めます。
\(r = \dfrac{s_{xy}}{s_x \, s_y} = \dfrac{6}{2 \times 5} = \dfrac{6}{10} = 0.6\)
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3組のデータ \(x\)：1, 2, 3、\(y\)：2, 4, 6 の相関係数 \(r\) を求めましょう。
解答：\(1\)
平均は \(\bar{x} = 2\)、\(\bar{y} = 4\) です。
共分散を求めます。
\(s_{xy} = \{(-1)(-2) + 0 \times 0 + 1 \times 2\} \div 3 = \dfrac{4}{3}\)
分散を求めます。
\(s_x^2 = \{(-1)^2 + 0^2 + 1^2\} \div 3 = \dfrac{2}{3}\)
\(s_y^2 = \{(-2)^2 + 0^2 + 2^2\} \div 3 = \dfrac{8}{3}\)
標準偏差の積は、2乗どうしを掛けてから平方根を取ると求められます。
\(s_x \, s_y = \sqrt{\dfrac{2}{3} \times \dfrac{8}{3}} = \sqrt{\dfrac{16}{9}} = \dfrac{4}{3}\)
相関係数を求めます。
\(r = \dfrac{4}{3} \div \dfrac{4}{3} = 1\)
\(y\) はちょうど \(x\) の2倍で、すべての点が一直線上にあるため、完全な正の相関になっています。
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あるデータで \(s_{xy} = 8\)、\(s_x^2 = 4\)、\(\bar{x} = 3\)、\(\bar{y} = 5\) のとき、回帰直線 \(y = ax + b\) の式を求めましょう。
解答：\(y = 2x - 1\)
傾きは、共分散を \(x\) の分散で割って求めます。
\(a = \dfrac{s_{xy}}{s_x^2} = \dfrac{8}{4} = 2\)
切片は、\(y\) の平均から「傾きと \(x\) の平均の積」を引いて求めます。
\(b = \bar{y} - a\bar{x} = 5 - 2 \times 3 = -1\)
よって回帰直線は次の式になります。
\(y = 2x - 1\)
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あるデータの相関係数が \(r = -0.85\) でした。このデータの相関の強さと向きの目安を答えましょう。
解答：強い負の相関
まず大きさ（絶対値）を見ます。
\(|r| = 0.85\) は目安の \(0.7\) 以上なので「強い相関」です。
次に符号を見ます。
\(r\) がマイナスなので「負の相関」、つまり \(x\) が増えると \(y\) が減る傾向（散布図では右下がり）です。
合わせて「強い負の相関」が答えです。