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3種類の記号 ○・△・□ から、同じ記号を何回使ってもよいとして4個を1列に並べます。
並べ方は全部で何通りでしょう。
解答：81通り
1か所に置ける記号は3種類で、その場所が4か所あります。
どの場所でも同じ記号を選べるので、選べる種類は減りません。
\({}_{3}\Pi_{4} = 3^{4} = 3 \times 3 \times 3 \times 3 = 81\)
よって、81通りです。
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コインを5回投げたとき、表と裏の出方は全部で何通りでしょう。
解答：32通り
1回ごとに表と裏の2通りがあり、それが5回続きます。
何回目でも選べるのは2通りのままなので、重複順列です。
\({}_{2}\Pi_{5} = 2^{5} = 32\)
よって、32通りです。
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3種類のジュースから、同じ種類を何本選んでもよいとして4本買います。
買い方は全部で何通りでしょう。
解答：15通り
買う順番は関係なく、何をどれだけ買うかだけを数えるので重複組合せです。
○を4個、種類の切れ目を表す仕切りを \(3 - 1 = 2\) 本ならべると、場所は合わせて6個になります。
\({}_{3}\mathrm{H}_{4} = {}_{6}\mathrm{C}_{4} = \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)
よって、15通りです。
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4種類のあめから、同じ種類を何個選んでもよいとして3個を選びます。
選び方は全部で何通りでしょう。
解答：20通り
○を3個、仕切りを \(4 - 1 = 3\) 本ならべるので、場所は合わせて6個です。
その6個の場所から○を置く3個の位置を選びます。
\({}_{4}\mathrm{H}_{3} = {}_{6}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{6 \times 5 \times 4}{3 \times 2 \times 1} = 20\)
よって、20通りです。
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「BANANA」の6文字を並べ替えてできる文字列は、全部で何通りでしょう。
解答：60通り
B が1個、A が3個、N が2個です。
6文字を全部別のものとして並べると \(6! = 720\) 通りですが、同じ文字同士の並べ替えの分だけ重なって数えられています。
\(N = \dfrac{6!}{1!\,3!\,2!} = \dfrac{720}{1 \times 6 \times 2} = \dfrac{720}{12} = 60\)
よって、60通りです。
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碁盤の目のような道を、右へ3区画・上へ2区画進んで目的地に着きます。
遠回りしない道すじは全部で何通りでしょう。
解答：10通り
進み方を順に書き出すと「右・右・右・上・上」の5文字の並べ替えと同じです。
右が3個・上が2個と同じものを含むので、それぞれの並べ替えの分で割ります。
\(N = \dfrac{5!}{3!\,2!} = \dfrac{120}{6 \times 2} = \dfrac{120}{12} = 10\)
よって、10通りです。
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5人が同時に1回じゃんけんをします。
だれがどの手を出したかまで区別するとき、グー・チョキ・パーの出し方は全部で何通りでしょう。
解答：243通り
1人目・2人目……と人が区別されるので、手を出す場所が5か所あるのと同じです。
どの人もグー・チョキ・パーの3通りから選べ、ほかの人と同じ手を出してもかまいません。
\({}_{3}\Pi_{5} = 3^{5} = 243\)
よって、243通りです。
なお「3種類の手をそれぞれ何人が出したか」という人数の内訳だけを数えるなら、だれが出したかを区別しないので重複組合せになります。
\({}_{3}\mathrm{H}_{5} = {}_{7}\mathrm{C}_{5} = 21\)
同じ場面でも、何を区別するかで使う式が変わります。
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7人の中から掃除当番を3人選びます。
選び方は全部で何通りでしょう。
解答：35通り
当番の顔ぶれだけが問題で、並べる順番はありません。
そして1人を2回選ぶことはできないので、重複を許さない組合せです。
\({}_{7}\mathrm{C}_{3} = \dfrac{7 \times 6 \times 5}{3 \times 2 \times 1} = 35\)
よって、35通りです。
「同じものを何回でも選んでよいか」を確かめないまま重複組合せの式に当てはめると、次のように答えが大きくなりすぎます。
\({}_{7}\mathrm{H}_{3} = {}_{9}\mathrm{C}_{3} = 84\)