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2点 \((1,\ 3)\)・\((2,\ 5)\) を通る一次関数の式を求めましょう。
解答：\(y = 2x + 1\)
まず傾き（変化の割合）を求めます。
\(a = \dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{5 - 3}{2 - 1} = \dfrac{2}{1} = 2\)
次に、どちらか1点（ここでは点 \((1,\ 3)\)）を使って切片を求めます。
\(b = y_1 - a x_1 = 3 - 2 \times 1 = 1\)
よって求める式は
\(y = 2x + 1\)
もう一方の点 \((2,\ 5)\) を代入して \(2 \times 2 + 1 = 5\) となることを確かめると、検算になります。
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傾きが \(-3\) で、点 \((2,\ 1)\) を通る一次関数の式を求めましょう。
解答：\(y = -3x + 7\)
傾きがわかっているので、切片だけを求めます。
\(b = y_1 - a x_1 = 1 - (-3) \times 2 = 1 + 6 = 7\)
マイナスの傾きとの掛け算は、符号に注意して計算します（\(-3 \times 2 = -6\) を引くので \(+6\) になります）。
よって求める式は
\(y = -3x + 7\)
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2点 \((-1,\ 4)\)・\((3,\ 4)\) を通る直線の式を求めましょう。
解答：\(y = 4\)（傾き 0 の水平な直線）
傾き（変化の割合）を求めます。
\(a = \dfrac{4 - 4}{3 - (-1)} = \dfrac{0}{4} = 0\)
y の増加量が 0 なので、傾きは 0 です。
切片は
\(b = y_1 - a x_1 = 4 - 0 \times (-1) = 4\)
よって式は
\(y = 4\)
これは「x がいくつでも y は常に 4」という、x 軸に平行な水平の直線です。0 で割っているわけではないので、傾き 0 の直線はきちんと定義できます（問6の縦の直線との違いに注意しましょう）。
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一次関数 \(y = 2x - 6\) のグラフと x 軸・y 軸との交点の座標をそれぞれ求めましょう。
解答：x 軸との交点 \((3,\ 0)\)・y 軸との交点 \((0,\ -6)\)
x 軸との交点は「y 座標が 0 になる点」なので、\(y = 0\) を代入して方程式を解きます。
\(0 = 2x - 6\)
\(x = \dfrac{6}{2} = 3\)
よって x 軸との交点は \((3,\ 0)\) です。
y 軸との交点は「x 座標が 0 になる点」なので、\(x = 0\) を代入します。
\(y = 2 \times 0 - 6 = -6\)
よって y 軸との交点は \((0,\ -6)\) です。切片 \(-6\) がそのまま y 軸との交点の高さになっています。
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ある一次関数で、\(x\) の値が \(2\) から \(5\) まで増えるとき、\(y\) の値は \(4\) から \(13\) まで増えました。この一次関数の変化の割合を求めましょう。
解答：\(3\)
変化の割合は「y の増加量」を「x の増加量」で割った値です。
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{13 - 4}{5 - 2} = \dfrac{9}{3} = 3\)
一次関数では、どの区間で測っても変化の割合は一定で、これがそのまま傾き \(a\) になります。
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2点 \((2,\ 3)\)・\((2,\ 8)\) を通る直線について、一次関数 \(y = ax + b\) の形で表せるかどうかを、理由を付けて答えましょう。表せない場合は、この直線を表す式も書きましょう。
解答：表せない（x の増加量が 0 で傾きが定義できないため）。直線の式は \(x = 2\)
傾きを求めようとすると、分母の x の増加量が
\(\Delta x = 2 - 2 = 0\)
となり、0 で割ることはできないため、傾きが定義できません。
この2点はどちらも x 座標が 2 なので、2点を通る直線は「x 座標が常に 2」の縦の直線です。式で表すと
\(x = 2\)
一次関数 \(y = ax + b\) のグラフになるのは y 軸に平行でない直線だけなので、この直線は一次関数では表せません。