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6人が円形のテーブルに座ります。座り方は何通りありますか。
解答：\(120\) 通り
円順列では、回して重なる座り方を同じ1通りと数えます。
\(n\) 人の円順列は \((n-1)!\) 通りなので、\(n = 6\) を代入します。
\((6-1)! = 5! = 5 \times 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 120\)
「1人の席を先に決めてしまえば、残りの5人を1列に並べるのと同じ」と考えても、同じ \(5!\) にたどり着きます。
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4人を円形に並べる並べ方を、1列に並べる並べ方から考えます。
(1) 4人を1列に並べる並べ方は何通りですか。
(2) (1)のうち、回すと重なって同じ円の並びになるものは何通りずつありますか。
(3) 4人の円順列は何通りですか。
解答：(1) \(24\) 通り
(2) \(4\) 通りずつ
(3) \(6\) 通り
(1) 4人を1列に並べる並べ方は階乗で求められます。
\(4! = 4 \times 3 \times 2 \times 1 = 24\)
(2) 円形では、並びを1つずつずらしたものがすべて同じ輪になります。1周でちょうど4回ずらせるので、同じ輪の並びが \(4\) 通りずつ数えられています。
(3) 重なりを取り除くため、\(24\) を \(4\) で割ります。
\(\dfrac{4!}{4} = \dfrac{24}{4} = 6\)
これが \((n-1)! = 3! = 6\) と一致することも確かめられます。
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8人の中から3人を選んで、3人がけの円形のテーブルに座らせます。座り方は何通りありますか。
解答：\(112\) 通り
まず、8人から3人を選んで1列に並べる並べ方を求めます。
\({}_{8}\mathrm{P}_{3} = 8 \times 7 \times 6 = 336\)
円形に座らせると、回して重なる座り方が \(3\) 通りずつあります。並んでいるのは3人なので、割るのは \(8\) ではなく \(3\) です。
\(\dfrac{336}{3} = 112\)
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色の違う5個の玉をつないで、輪のブレスレットを作ります。何通りできますか。
ただし、回しても裏返しても同じになるものは1通りと数えます。
解答：\(12\) 通り
裏返しを考えないときの並べ方（円順列）はこうなります。
\((5-1)! = 4! = 24\)
ブレスレットはひっくり返せるので、裏返すと重なる並べ方が \(2\) 通りずつあります。
\(\dfrac{24}{2} = 12\)
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色の違う2個の玉をつないで輪を作ります。何通りできますか。
ただし、回しても裏返しても同じになるものは1通りと数えます。
解答：\(1\) 通り
玉が2個の輪は、AとBが向かい合う形しかありません。回しても裏返しても同じものにしかならないので \(1\) 通りです。
ここでじゅず順列の公式に \(n = 2\) をそのまま代入すると、次のようになってしまいます。
\(\dfrac{(2-1)!}{2} = \dfrac{1}{2}\)
この公式は「どの並びにも、それを裏返した別の並びがちょうど1つある」ことを使って \(2\) で割っています。玉が1個や2個のときは裏返しても並びが変わらず、対になる相手がいないため、割ってはいけません。
\(n = 1,\ 2\) はどちらも \(1\) 通り、\(n\) が \(3\) 以上のときだけ \(\dfrac{(n-1)!}{2}\) を使います。
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6人が円形のテーブルに座るとき、太郎さんと花子さんが隣り合う座り方は何通りありますか。
解答：\(48\) 通り
太郎さんと花子さんを1つの塊とみなします。すると円形に並べるものは「塊＋残りの4人」の5個になります。
\((5-1)! = 4! = 24\)
塊の中で「太郎さん・花子さん」の順か「花子さん・太郎さん」の順かの \(2\) 通りがあるので、これを掛けます。
\(24 \times 2 = 48\)
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6人が円形のテーブルに座るとき、太郎さんと花子さんが隣り合わない座り方は何通りありますか。
解答：\(72\) 通り
「隣り合わない」は直接数えにくいので、全体から「隣り合う」場合を引きます。
条件を付けない6人の円順列はこうなります。
\((6-1)! = 5! = 120\)
2人が隣り合う座り方は、前の問題で求めたとおり \(48\) 通りです。
\(120 - 48 = 72\)