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コイン（表が出る確率 \(\dfrac{1}{2}\)）を3回投げるとき、表がちょうど2回出る確率を求めましょう。
解答：\(\dfrac{3}{8}\)
二項分布の確率の式に、\(n = 3\)、\(p = \dfrac{1}{2}\)、\(k = 2\) を当てはめます。
まず、どの回で表が出るかの並び方の数を求めます。
\({}_{3}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{3 \times 2}{2 \times 1} = 3\)
表2回・裏1回の並び1通りの確率は、表の確率を2回分、裏の確率を1回分掛けたものです。
\(\left(\dfrac{1}{2}\right)^{2} \times \left(\dfrac{1}{2}\right)^{1} = \dfrac{1}{8}\)
並び方の数を掛けて答えが出ます。
\(P(X = 2) = 3 \times \dfrac{1}{8} = \dfrac{3}{8}\)
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サイコロを2回投げるとき、1の目がちょうど1回出る確率を求めましょう。
解答：\(\dfrac{5}{18}\)
\(n = 2\)、\(p = \dfrac{1}{6}\)、\(k = 1\) の二項分布の確率です。
1の目が出る回の選び方は \({}_{2}\mathrm{C}_{1} = 2\) 通りです（1回目に出るか、2回目に出るか）。
「1回目に1の目、2回目はそれ以外」という並び1通りの確率は
\(\dfrac{1}{6} \times \dfrac{5}{6} = \dfrac{5}{36}\)
並び方の数を掛けます。
\(P(X = 1) = 2 \times \dfrac{5}{36} = \dfrac{10}{36} = \dfrac{5}{18}\)
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コインを4回投げるとき、表が2回以下になる確率を求めましょう。
ちょうど0回・1回・2回の確率がそれぞれ \(\dfrac{1}{16}\)、\(\dfrac{4}{16}\)、\(\dfrac{6}{16}\) であることは使ってかまいません。
解答：\(\dfrac{11}{16}\)
「2回以下」は「ちょうど0回・ちょうど1回・ちょうど2回」のどれかが起こることなので、それぞれの確率を足します。
\(P(X \leqq 2) = \dfrac{1}{16} + \dfrac{4}{16} + \dfrac{6}{16} = \dfrac{11}{16}\)
このように「以下の確率」は、ちょうどの確率の足し算（累積確率）で求められます。
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当たり確率 \(\dfrac{1}{3}\) のくじを3回引くとき、少なくとも1回当たる確率を求めましょう。
解答：\(\dfrac{19}{27}\)
「少なくとも1回」は0回・1回・2回・3回の確率を足すより、余事象を使う方が早く計算できます。
「少なくとも1回当たる」の反対（余事象）は「1回も当たらない」ことです。
1回も当たらない確率は、外れの確率 \(\dfrac{2}{3}\) を3回分掛けたものです。
\(P(X = 0) = \left(\dfrac{2}{3}\right)^{3} = \dfrac{8}{27}\)
全体の確率1から引きます。
\(P(X \geqq 1) = 1 - \dfrac{8}{27} = \dfrac{19}{27}\)
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コイン（表が出る確率 \(\dfrac{1}{2}\)）を100回投げるとき、表が出る回数の期待値 \(E(X)\)・分散 \(V(X)\)・標準偏差 \(\sigma\) を求めましょう。
解答：\(E(X) = 50,\ V(X) = 25,\ \sigma = 5\)
二項分布の期待値・分散・標準偏差の公式に、\(n = 100\)、\(p = \dfrac{1}{2}\) を当てはめます。
\(E(X) = np = 100 \times \dfrac{1}{2} = 50\)
分散は期待値にさらに失敗の確率を掛けたものです。
\(V(X) = np(1 - p) = 100 \times \dfrac{1}{2} \times \dfrac{1}{2} = 25\)
標準偏差は分散の平方根です。
\(\sigma = \sqrt{25} = 5\)
「100回投げれば表はだいたい50回、ずれても45〜55回くらいが多い」という読み方ができます。
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コインを20回投げるときの表の回数の二項分布 \(B\left(20,\ \dfrac{1}{2}\right)\) は、正規分布による近似の目安（\(np \geqq 5\) かつ \(n(1-p) \geqq 5\)）を満たすでしょうか。満たす場合は、近似に使う正規分布も答えましょう。
解答：目安を満たす（近似に使う正規分布は \(N(10,\ 5)\)）
目安の2つの量を計算します。
\(np = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \geqq 5\)
\(n(1 - p) = 20 \times \dfrac{1}{2} = 10 \geqq 5\)
どちらも5以上なので、目安を満たします。
近似に使う正規分布は、平均 \(np = 10\)、分散 \(np(1-p) = 5\) の正規分布です。
\(B\left(20,\ \dfrac{1}{2}\right) \fallingdotseq N(10,\ 5)\)
\(N\) の括弧の中は「平均、分散」の順で書くことに注意しましょう。