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\(64\) の平方根をすべて求めましょう。
また、\(\sqrt{64}\) の値を求めましょう。
解答：平方根は \(8\) と \(-8\)、\(\sqrt{64} = 8\)
平方根とは、2乗するとその数になる数のことです。
\(8^{2} = 64\)
\(\left(-8\right)^{2} = 64\)
2乗して \(64\) になる数は正と負の2つあるので、\(64\) の平方根は \(8\) と \(-8\) です。
一方、記号 \(\sqrt{\phantom{a}}\) が指すのは2つのうち正の方だけという約束なので、値は1つに決まります。
\(\sqrt{64} = 8\)
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次の式を簡単にしましょう。
\(\sqrt{50}\)
解答：\(5\sqrt{2}\)
まず根号の中を素因数分解します。
\(50 = 2 \times 5^{2}\)
\(5\) が2個そろっているので、\(5^{2}\) が2乗のかたまりです。
\(50 = 5^{2} \times 2\)
2乗のかたまりのもとの数 \(5\) を根号の外に出します。
\(\sqrt{50} = \sqrt{5^{2} \times 2} = 5\sqrt{2}\)
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次の式を計算しましょう。
\(\sqrt{2} + \sqrt{8}\)
解答：\(3\sqrt{2}\)
このままでは根号の中が \(2\) と \(8\) で違いますが、\(\sqrt{8}\) はまだ簡約できます。
\(\sqrt{8} = \sqrt{2^{2} \times 2} = 2\sqrt{2}\)
これで両方とも \(\sqrt{2}\) のまとまりになったので、個数どうしを足せます。
\(\sqrt{2} + 2\sqrt{2} = \left(1 + 2\right)\sqrt{2} = 3\sqrt{2}\)
足し算・引き算では、先に両方を簡約してから同類項をまとめるのが手順です。
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次の式を計算しましょう。
\(\sqrt{27} - \sqrt{12}\)
解答：\(\sqrt{3}\)
両方を簡約します。
\(\sqrt{27} = \sqrt{3^{2} \times 3} = 3\sqrt{3}\)
\(\sqrt{12} = \sqrt{2^{2} \times 3} = 2\sqrt{3}\)
どちらも \(\sqrt{3}\) のまとまりになったので、個数どうしを引きます。
\(3\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = \left(3 - 2\right)\sqrt{3} = \sqrt{3}\)
係数が \(1\) のときは \(1\sqrt{3}\) とは書かず、\(\sqrt{3}\) と書きます。
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次の式を計算しましょう。
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6}\)
解答：\(3\sqrt{2}\)
掛け算では、根号の中どうしを掛けて1つの根号にまとめられます。
\(\sqrt{3} \times \sqrt{6} = \sqrt{3 \times 6} = \sqrt{18}\)
掛けた後は根号の中が大きくなっているので、必ず簡約まで行います。
\(\sqrt{18} = \sqrt{3^{2} \times 2} = 3\sqrt{2}\)
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次の式を計算しましょう。
\(2\sqrt{6} \times 3\sqrt{2}\)
解答：\(12\sqrt{3}\)
根号の前の数どうし、根号の中どうしを別々に掛けます。
\(2 \times 3 = 6\)
\(\sqrt{6} \times \sqrt{2} = \sqrt{12}\)
ここまでで \(6\sqrt{12}\) です。
\(\sqrt{12}\) はまだ簡約できます。
\(\sqrt{12} = \sqrt{2^{2} \times 3} = 2\sqrt{3}\)
根号の外に出た \(2\) を、前の数 \(6\) と掛け合わせます。
\(6 \times 2\sqrt{3} = 12\sqrt{3}\)
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次の式を、分母に根号が無い形にして計算しましょう。
\(\dfrac{6}{\sqrt{3}}\)
解答：\(2\sqrt{3}\)
分母から根号を消すために、分母と分子の両方に \(\sqrt{3}\) を掛けます（分母の有理化）。
分母と分子に同じ数を掛けても、分数の値は変わりません。
\(\dfrac{6}{\sqrt{3}} = \dfrac{6 \times \sqrt{3}}{\sqrt{3} \times \sqrt{3}} = \dfrac{6\sqrt{3}}{3}\)
分母の \(3\) で約分します。
\(\dfrac{6\sqrt{3}}{3} = 2\sqrt{3}\)