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次の方程式が表す円の中心と半径を求めましょう。
\(x^{2} + y^{2} - 4x - 6y + 9 = 0\)
解答：中心 \((2,\ 3)\)・半径 \(2\)
\(x\) の項と \(y\) の項をそれぞれ平方完成します。
\(x^{2} - 4x = (x - 2)^{2} - 4\)
\(y^{2} - 6y = (y - 3)^{2} - 9\)
もとの式に代入して、定数を右辺に集めます。
\((x - 2)^{2} - 4 + (y - 3)^{2} - 9 + 9 = 0\)
\((x - 2)^{2} + (y - 3)^{2} = 4\)
標準形 \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) と見比べると、中心は \((2,\ 3)\)、半径は
\(r = \sqrt{4} = 2\)
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次の方程式が表す円の中心と半径を求めましょう。
\(x^{2} + y^{2} + 2x - 3 = 0\)
解答：中心 \((-1,\ 0)\)・半径 \(2\)
\(y\) の1次の項が無いので、平方完成するのは \(x\) の項だけです。
\(x^{2} + 2x = (x + 1)^{2} - 1\)
もとの式に代入して整理します。
\((x + 1)^{2} - 1 + y^{2} - 3 = 0\)
\((x + 1)^{2} + y^{2} = 4\)
\((x + 1)^{2}\) は \((x - (-1))^{2}\) の意味なので、中心は \((-1,\ 0)\)、半径は
\(r = \sqrt{4} = 2\)
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中心が \((1,\ -2)\) で半径が \(3\) の円の方程式を、標準形と一般形の両方で書きましょう。
解答：標準形 \((x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9\)・一般形 \(x^{2} + y^{2} - 2x + 4y - 4 = 0\)
標準形は、中心 \((a,\ b) = (1,\ -2)\) と半径 \(r = 3\) を \((x - a)^{2} + (y - b)^{2} = r^{2}\) に当てはめます。
\((x - 1)^{2} + (y - (-2))^{2} = 3^{2}\)
\((x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 9\)
一般形は、これを展開して左辺に集めます。
\(x^{2} - 2x + 1 + y^{2} + 4y + 4 = 9\)
\(x^{2} + y^{2} - 2x + 4y - 4 = 0\)
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次の方程式はどんな図形を表すか答えましょう。
\(x^{2} + y^{2} - 2x + 4y + 5 = 0\)
解答：点 \((1,\ -2)\) の1点だけを表す（円にはならない）
平方完成して標準形の形に直します。
\(x^{2} - 2x = (x - 1)^{2} - 1\)
\(y^{2} + 4y = (y + 2)^{2} - 4\)
\((x - 1)^{2} + (y + 2)^{2} = 1 + 4 - 5 = 0\)
右辺が \(0\) になりました。
2乗の和が \(0\) になるのは、両方の2乗がどちらも \(0\) のときだけなので、この式を満たすのは \(x = 1,\ y = -2\) の1点だけです。
右辺（\(r^{2}\) にあたる値）が正にならない式は、円を表しません。
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円 \(x^{2} + y^{2} = 5\) と直線 \(x + 2y - 5 = 0\) の位置関係を調べ、共有点があればその座標を求めましょう。
解答：接する（接点 \((1,\ 2)\)）
円の中心は原点 \((0,\ 0)\)、半径は \(r = \sqrt{5}\) です。
中心と直線の距離を、点と直線の距離の公式で求めます。
\(d = \dfrac{|1 \times 0 + 2 \times 0 - 5|}{\sqrt{1^{2} + 2^{2}}} = \dfrac{5}{\sqrt{5}} = \sqrt{5}\)
\(d = r\) なので、円と直線は接します。
接点は、直線の式から \(x = 5 - 2y\) として円の式に代入すると求められます。
\((5 - 2y)^{2} + y^{2} = 5\)
\(5y^{2} - 20y + 20 = 0\)
\(y^{2} - 4y + 4 = 0\)
\((y - 2)^{2} = 0\)
重解 \(y = 2\) となり（重解になることも「接する」ことの確かめになります）、\(x = 5 - 2 \times 2 = 1\) なので接点は \((1,\ 2)\) です。
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円 \(x^{2} + y^{2} = 25\) と直線 \(x + y - 7 = 0\) の位置関係を調べ、共有点があればその座標を求めましょう。
解答：異なる2点で交わる（共有点 \((3,\ 4)\) と \((4,\ 3)\)）
円の中心は原点 \((0,\ 0)\)、半径は \(r = 5\) です。
中心と直線の距離を求めます。
\(d = \dfrac{|0 + 0 - 7|}{\sqrt{1^{2} + 1^{2}}} = \dfrac{7}{\sqrt{2}} = \dfrac{7\sqrt{2}}{2}\)
\(d\) と \(r\) の大小は2乗どうしで比べると確実です。
\(d^{2} = \dfrac{49}{2} = 24.5 < 25 = r^{2}\)
\(d < r\) なので、円と直線は異なる2点で交わります。
共有点は、直線の式から \(y = 7 - x\) として円の式に代入すると求められます。
\(x^{2} + (7 - x)^{2} = 25\)
\(2x^{2} - 14x + 24 = 0\)
\(x^{2} - 7x + 12 = 0\)
\((x - 3)(x - 4) = 0\)
\(x = 3\) のとき \(y = 4\)、\(x = 4\) のとき \(y = 3\) なので、共有点は \((3,\ 4)\) と \((4,\ 3)\) です。