-
次の式を展開しましょう。
\((a+b)^{4}\)
解答：\(a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}\)
係数はパスカルの三角形の \(n = 4\) の段を使うのが速いです。
\(n = 3\) の段が \(1,\ 3,\ 3,\ 1\) なので、両端に 1 を置き、隣り合う2数を足すと
\(1,\quad 1+3,\quad 3+3,\quad 3+1,\quad 1\)
つまり \(n = 4\) の段は
\(1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1\)
あとは \(a\) の指数を \(4\) から1ずつ減らし、\(b\) の指数を \(0\) から1ずつ増やして並べます。
\((a+b)^{4} = a^{4} + 4a^{3}b + 6a^{2}b^{2} + 4ab^{3} + b^{4}\)
どの項も \(a\) と \(b\) の指数の合計が \(4\) になっていることを確かめると、書き間違いに気づけます。
-
次の式を展開しましょう。
\((x+2)^{3}\)
解答：\(x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8\)
二項定理の \(a\) を \(x\)、\(b\) を \(2\) と見ます。
\(n = 3\) の二項係数は \(1,\ 3,\ 3,\ 1\) なので
\((x+2)^{3} = x^{3} + 3x^{2} \cdot 2 + 3x \cdot 2^{2} + 2^{3}\)
あとは数の部分を計算します。
\(3 \times 2 = 6\)、\(3 \times 4 = 12\)、\(2^{3} = 8\)
よって
\((x+2)^{3} = x^{3} + 6x^{2} + 12x + 8\)
-
次の式を展開しましょう。
\((2x-1)^{4}\)
解答：\(16x^{4} - 32x^{3} + 24x^{2} - 8x + 1\)
引き算のときは \(b = -1\) と考えます。符号も含めてかっこに入れるのがコツです。
\(a = 2x\)、\(b = -1\)、\(n = 4\) なので、二項係数は \(1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1\)
\(a\) がかたまりなので、必ずかっこごと累乗します。
\((2x)^{4} = 16x^{4}\)、\((2x)^{3} = 8x^{3}\)、\((2x)^{2} = 4x^{2}\)
項ごとに計算すると
\(1 \times 16x^{4} = 16x^{4}\)
\(4 \times 8x^{3} \times (-1) = -32x^{3}\)
\(6 \times 4x^{2} \times 1 = 24x^{2}\)
\(4 \times 2x \times (-1) = -8x\)
\(1 \times 1 = 1\)
よって
\((2x-1)^{4} = 16x^{4} - 32x^{3} + 24x^{2} - 8x + 1\)
-
\((x+3)^{5}\) を展開したとき、\(x^{2}\) の係数を求めましょう。
解答：\(270\)
全部を展開する必要はありません。一般項を使います。
\({}_{5}\mathrm{C}_{k}\,x^{5-k}\,3^{k}\)
\(x^{2}\) の項なので \(5 - k = 2\)、つまり \(k = 3\) です。
二項係数を求めます。
\({}_{5}\mathrm{C}_{3} = {}_{5}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{5 \times 4}{2 \times 1} = 10\)
あとは代入して計算します。
\(10 \times x^{2} \times 3^{3} = 10 \times 27 \, x^{2} = 270x^{2}\)
よって係数は \(270\) です。
-
\((3x-2)^{4}\) を展開したとき、\(x^{3}\) の係数を求めましょう。
解答：\(-216\)
一般項は次の形です。
\({}_{4}\mathrm{C}_{k}\,(3x)^{4-k}\,(-2)^{k}\)
\(x^{3}\) の項なので \(4 - k = 3\)、つまり \(k = 1\) です。
代入して計算します。
\({}_{4}\mathrm{C}_{1}(3x)^{3}(-2)^{1} = 4 \times 27x^{3} \times (-2) = -216x^{3}\)
よって係数は \(-216\) です。
\(b\) が負の数のときは符号の付け忘れに注意しましょう。
-
\(\left(\dfrac{1}{2}x+1\right)^{4}\) を展開したとき、\(x^{2}\) の係数を求めましょう。
解答：\(\dfrac{3}{2}\)
一般項は次の形です。
\({}_{4}\mathrm{C}_{k}\left(\dfrac{1}{2}x\right)^{4-k}1^{k}\)
\(x^{2}\) の項なので \(4 - k = 2\)、つまり \(k = 2\) です。
分数もかっこごと2乗します。
\(\left(\dfrac{1}{2}x\right)^{2} = \dfrac{1}{4}x^{2}\)
二項係数は \({}_{4}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{4 \times 3}{2 \times 1} = 6\) なので
\(6 \times \dfrac{1}{4}x^{2} \times 1 = \dfrac{3}{2}x^{2}\)
よって係数は \(\dfrac{3}{2}\) です。
-
パスカルの三角形を使って、\({}_{6}\mathrm{C}_{2}\) の値を求めましょう。
解答：\(15\)
\(n = 4\) の段から順に、隣り合う2数を足して1段ずつ下ろします。
\(n = 4\) の段： \(1,\ 4,\ 6,\ 4,\ 1\)
\(n = 5\) の段： \(1,\ 5,\ 10,\ 10,\ 5,\ 1\)
\(n = 6\) の段： \(1,\ 6,\ 15,\ 20,\ 15,\ 6,\ 1\)
\({}_{6}\mathrm{C}_{2}\) は \(n = 6\) の段の左から3番目（\(k = 0\) から数えて \(k = 2\)）なので \(15\) です。
階乗の式でも確かめられます。
\({}_{6}\mathrm{C}_{2} = \dfrac{6 \times 5}{2 \times 1} = 15\)