-
初項 \(a_1 = 1\)、漸化式 \(a_{n+1} = 2a_n + 3\) で決まる数列の \(a_2\) と \(a_3\) を求めましょう。
解答：\(a_2 = 5,\quad a_3 = 13\)
漸化式は「今の項を2倍して3を足すと次の項になる」というルールです。
初項から順番に当てはめます。
\(a_2 = 2 \times 1 + 3 = 5\)
\(a_3 = 2 \times 5 + 3 = 13\)
-
漸化式 \(a_{n+1} = 3a_n - 4\) の特性方程式を作り、特性解を求めましょう。
解答：\(x = 2\)
\(a_{n+1}\) と \(a_n\) を両方同じ文字 \(x\) に置き換えると、特性方程式ができます。
\(x = 3x - 4\)
移項して解きます。
\(x - 3x = -4\)
\(-2x = -4\)
\(x = 2\)
公式 \(c = \dfrac{q}{1-p}\) に \(p = 3\)・\(q = -4\) を当てはめて、\(c = \dfrac{-4}{1-3} = 2\) と求めることもできます。
-
漸化式 \(a_{n+1} = 3a_n - 4\)（特性解 2）を、\(a_{n+1} - 2 = \cdots\) の形（等比数列の形）に変形しましょう。
解答：\(a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)\)
漸化式から、特性方程式 \(2 = 3 \times 2 - 4\) を辺々引きます。
\(a_{n+1} - 2 = 3a_n - 4 - (3 \times 2 - 4)\)
\(a_{n+1} - 2 = 3a_n - 3 \times 2\)
\(a_{n+1} - 2 = 3(a_n - 2)\)
差の数列 \(\{a_n - 2\}\) が、公比 3 の等比数列になったことがわかります。
-
初項 \(a_1 = 3\)、漸化式 \(a_{n+1} = 3a_n - 4\) で決まる数列の一般項を求めましょう。
解答：\(a_n = 3^{n-1} + 2\)
特性解は問2で求めた 2 です。
問3の変形から、数列 \(\{a_n - 2\}\) は公比 3 の等比数列で、その初項は
\(a_1 - 2 = 3 - 2 = 1\)
等比数列の一般項の公式に当てはめます。
\(a_n - 2 = 1 \times 3^{n-1}\)
2 を移項して
\(a_n = 3^{n-1} + 2\)
検算すると \(a_1 = 1 + 2 = 3\)、\(a_2 = 3 + 2 = 5\) で、漸化式 \(3 \times 3 - 4 = 5\) とも合っています。
-
初項 \(a_1 = 5\)、漸化式 \(a_{n+1} = a_n + 3\) で決まる数列の一般項を求めましょう。
解答：\(a_n = 3n + 2\)
掛ける数が 1 なので、この数列は毎回 3 を足すだけの等差数列です（特性方程式は使えません）。
初項 5、公差 3 の等差数列の一般項の公式に当てはめます。
\(a_n = 5 + (n-1) \times 3\)
展開して整理します。
\(a_n = 5 + 3n - 3 = 3n + 2\)
検算すると \(a_1 = 3 + 2 = 5\)、\(a_2 = 6 + 2 = 8\) で、確かに 3 ずつ増えています。
-
初項 \(a_1 = 0\)、漸化式 \(a_{n+1} = \dfrac{1}{2}a_n + 3\) で決まる数列は、\(n\) を大きくしていくとどんな値に限りなく近づきますか。
解答：\(6\)
特性方程式を作って解きます。
\(x = \dfrac{1}{2}x + 3\)
\(\dfrac{1}{2}x = 3\)
\(x = 6\)
掛ける数 \(\dfrac{1}{2}\) は \(-1\) と \(1\) の間にあるので、この数列は特性解 6 に収束します。
実際に並べてみると
\(a_1 = 0,\quad a_2 = 3,\quad a_3 = 4.5,\quad a_4 = 5.25,\quad \dots\)
と、だんだん 6 に近づいていくことが確かめられます。