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数直線上の2点 \(\mathrm{A}(-1)\)、\(\mathrm{B}(5)\) について、線分 \(\mathrm{AB}\) を \(1:2\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) の座標を求めましょう。
解答：\(1\)
内分点の公式に当てはめます。点 \(\mathrm{A}\) の座標には遠いほうの数 \(2\) を、点 \(\mathrm{B}\) の座標には \(1\) を掛けます。
\(\dfrac{2 \times \left(-1\right) + 1 \times 5}{1 + 2} = \dfrac{-2 + 5}{3} = \dfrac{3}{3} = 1\)
\(\mathrm{A}\) から \(\mathrm{B}\) までの長さは \(6\) で、\(\mathrm{P}\) はそのうち \(\mathrm{A}\) 側の \(\dfrac{1}{3}\) の位置、つまり \(\mathrm{A}\) から \(2\) だけ進んだ点です。\(-1 + 2 = 1\) となり、答えが確かめられます。
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2点 \(\mathrm{A}(2,\ 1)\)、\(\mathrm{B}(8,\ 7)\) について、線分 \(\mathrm{AB}\) を \(2:1\) に内分する点 \(\mathrm{P}\) の座標を求めましょう。
解答：\(\mathrm{P}(6,\ 5)\)
\(x\) 座標と \(y\) 座標を、それぞれ同じ形の式で計算します。点 \(\mathrm{A}\) の座標には \(1\)、点 \(\mathrm{B}\) の座標には \(2\) を掛けます。
\(x = \dfrac{1 \times 2 + 2 \times 8}{2 + 1} = \dfrac{18}{3} = 6\)
\(y = \dfrac{1 \times 1 + 2 \times 7}{2 + 1} = \dfrac{15}{3} = 5\)
よって \(\mathrm{P}(6,\ 5)\) です。
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2点 \(\mathrm{A}(-3,\ 4)\)、\(\mathrm{B}(5,\ -2)\) の中点 \(\mathrm{M}\) の座標を求めましょう。
解答：\(\mathrm{M}(1,\ 1)\)
中点は2つの座標の平均です。
\(x = \dfrac{-3 + 5}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\)
\(y = \dfrac{4 + \left(-2\right)}{2} = \dfrac{2}{2} = 1\)
よって \(\mathrm{M}(1,\ 1)\) です。
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2点 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(4,\ 8)\) について、線分 \(\mathrm{AB}\) を \(2:1\) に外分する点 \(\mathrm{Q}\) の座標を求めましょう。
解答：\(\mathrm{Q}(7,\ 14)\)
外分点は、内分点の公式の \(n\) を \(-n\) に置き換えた形です。ここでは \(m = 2\)、\(n = 1\) なので、点 \(\mathrm{A}\) の座標に \(-1\)、点 \(\mathrm{B}\) の座標に \(2\) を掛け、分母は \(2 - 1\) になります。
\(x = \dfrac{-1 \times 1 + 2 \times 4}{2 - 1} = \dfrac{7}{1} = 7\)
\(y = \dfrac{-1 \times 2 + 2 \times 8}{2 - 1} = \dfrac{14}{1} = 14\)
\(m > n\) なので、\(\mathrm{Q}\) は \(\mathrm{B}\) を通り越した先にあります。よって \(\mathrm{Q}(7,\ 14)\) です。
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2点 \(\mathrm{A}(0,\ 3)\)、\(\mathrm{B}(6,\ 0)\) について、線分 \(\mathrm{AB}\) を \(1:3\) に外分する点 \(\mathrm{Q}\) の座標を求めましょう。
解答：\(\mathrm{Q}\left(-3,\ \dfrac{9}{2}\right)\)
\(m = 1\)、\(n = 3\) なので、点 \(\mathrm{A}\) の座標に \(-3\)、点 \(\mathrm{B}\) の座標に \(1\) を掛け、分母は \(1 - 3 = -2\) になります。
\(x = \dfrac{-3 \times 0 + 1 \times 6}{1 - 3} = \dfrac{6}{-2} = -3\)
\(y = \dfrac{-3 \times 3 + 1 \times 0}{1 - 3} = \dfrac{-9}{-2} = \dfrac{9}{2}\)
\(m < n\) なので、\(\mathrm{Q}\) は \(\mathrm{A}\) の手前（\(\mathrm{B}\) と反対の向き）に出ます。よって \(\mathrm{Q}\left(-3,\ \dfrac{9}{2}\right)\) です。
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3点 \(\mathrm{A}(1,\ 2)\)、\(\mathrm{B}(5,\ 0)\)、\(\mathrm{C}(3,\ 7)\) を頂点とする三角形 \(\mathrm{ABC}\) の重心 \(\mathrm{G}\) の座標を求めましょう。
解答：\(\mathrm{G}(3,\ 3)\)
重心は3つの頂点の座標の平均です。
\(x = \dfrac{1 + 5 + 3}{3} = \dfrac{9}{3} = 3\)
\(y = \dfrac{2 + 0 + 7}{3} = \dfrac{9}{3} = 3\)
よって \(\mathrm{G}(3,\ 3)\) です。
辺 \(\mathrm{BC}\) の中点 \(\mathrm{M}\) は \(\left(4,\ \dfrac{7}{2}\right)\) で、中線 \(\mathrm{AM}\) を \(2:1\) に内分すると \(x = \dfrac{1 \times 1 + 2 \times 4}{3} = 3\)、\(y = \dfrac{1 \times 2 + 2 \times \dfrac{7}{2}}{3} = 3\) となり、同じ点になることが確かめられます。