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奥行き \(300\,\text{mm}\)、厚み \(20\,\text{mm}\) の棚板の断面二次モーメント \(I\) と断面係数 \(Z\) を求めましょう。
解答：\(I = 200{,}000\,\text{mm}^4\)、\(Z = 20{,}000\,\text{mm}^3\)
断面二次モーメントは、奥行きに厚みの3乗を掛けて12で割って求めます。
\(I = \dfrac{300 \times 20^{3}}{12} = \dfrac{300 \times 8{,}000}{12} = 200{,}000\)
断面係数は、奥行きに厚みの2乗を掛けて6で割って求めます。
\(Z = \dfrac{300 \times 20^{2}}{6} = \dfrac{300 \times 400}{6} = 20{,}000\)
よって \(I = 200{,}000\,\text{mm}^4\)、\(Z = 20{,}000\,\text{mm}^3\) です。
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断面二次モーメントが \(200{,}000\,\text{mm}^4\) の棚板を、スパン \(800\,\text{mm}\) の棚受けに載せ（単純支持）、全体に均等な荷重を \(1\,\text{mm}\) あたり \(0.375\,\text{N}\) かけます。ヤング率を \(10{,}000\,\text{N/mm}^2\) として、最大たわみを求めましょう。
解答：\(1\,\text{mm}\)
等分布荷重・単純支持の最大たわみは、荷重にスパンの4乗と \(\dfrac{5}{384}\) を掛け、ヤング率と断面二次モーメントの積で割って求めます。
\(\delta = \dfrac{5 \times 0.375 \times 800^{4}}{384 \times 10{,}000 \times 200{,}000}\)
分子と分母をそれぞれ計算します。
\(5 \times 0.375 \times 800^{4} = 1.875 \times 4.096 \times 10^{11} = 7.68 \times 10^{11}\)
\(384 \times 10{,}000 \times 200{,}000 = 7.68 \times 10^{11}\)
分子と分母が等しいので
\(\delta = 1\)
よって最大たわみは \(1\,\text{mm}\) です。
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問2と同じ棚板・同じ荷重で、棚板の両端を側板に固定して両端固定にすると、最大たわみは何 mm になるか求めましょう。
解答：\(0.2\,\text{mm}\)
等分布荷重の両端固定の式は、単純支持の式の係数 \(\dfrac{5}{384}\) が \(\dfrac{1}{384}\) に変わったものなので、たわみは単純支持の \(\dfrac{1}{5}\) になります。
\(\delta = 1 \times \dfrac{1}{5} = 0.2\)
よって最大たわみは \(0.2\,\text{mm}\) です。
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断面二次モーメントが \(200{,}000\,\text{mm}^4\)、ヤング率が \(10{,}000\,\text{N/mm}^2\) の棚板を、スパン \(600\,\text{mm}\) で単純支持し、中央に \(200\,\text{N}\) の集中荷重をかけます。最大たわみを求めましょう。
解答：\(0.45\,\text{mm}\)
中央集中荷重・単純支持の最大たわみは、荷重にスパンの3乗を掛け、48 とヤング率と断面二次モーメントの積で割って求めます。
\(\delta = \dfrac{200 \times 600^{3}}{48 \times 10{,}000 \times 200{,}000}\)
分子と分母をそれぞれ計算します。
\(200 \times 600^{3} = 200 \times 2.16 \times 10^{8} = 4.32 \times 10^{10}\)
\(48 \times 10{,}000 \times 200{,}000 = 9.6 \times 10^{10}\)
割り算をします。
\(\delta = \dfrac{4.32 \times 10^{10}}{9.6 \times 10^{10}} = 0.45\)
よって最大たわみは \(0.45\,\text{mm}\) です。
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スパン \(800\,\text{mm}\) の棚板の、載せた直後の最大たわみが \(1\,\text{mm}\) でした。クリープ係数を \(2\) として長期のたわみを求め、たわみ比 \(L/\delta\) を \(L/n\) の形で表しましょう。また、それは \(L/300\) 以下かどうか答えましょう。
解答：長期のたわみ \(2\,\text{mm}\)、たわみ比 \(L/400\)、\(L/300\) 以下である
長期のたわみは、載せた直後のたわみにクリープ係数を掛けて求めます。
\(\delta_{\text{長期}} = 2 \times 1 = 2\)
たわみ比の分母は、スパンをたわみで割って求めます。
\(n = 800 \div 2 = 400\)
たわみはスパンの \(400\) 分の \(1\) で、\(400 > 300\) なので \(L/300\) より小さいたわみです。
よって長期のたわみ \(2\,\text{mm}\)、たわみ比 \(L/400\)、\(L/300\) 以下です。
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問2の棚板（奥行き \(300\,\text{mm}\)・厚み \(20\,\text{mm}\)・スパン \(800\,\text{mm}\)・単純支持・\(1\,\text{mm}\) あたり \(0.375\,\text{N}\) の等分布荷重）について、最大曲げモーメント \(M\) と曲げ応力 \(\sigma\) を求めましょう。断面係数は \(20{,}000\,\text{mm}^3\) とします。
解答：\(M = 30{,}000\,\text{N} \cdot \text{mm}\)、\(\sigma = 1.5\,\text{N/mm}^2\)
等分布荷重・単純支持の最大曲げモーメントは、荷重にスパンの2乗を掛けて8で割って求めます。
\(M = \dfrac{0.375 \times 800^{2}}{8} = \dfrac{0.375 \times 640{,}000}{8} = 30{,}000\)
曲げ応力は、曲げモーメントを断面係数で割って求めます。
\(\sigma = \dfrac{30{,}000}{20{,}000} = 1.5\)
よって \(M = 30{,}000\,\text{N} \cdot \text{mm}\)、\(\sigma = 1.5\,\text{N/mm}^2\) です。
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ある棚板の厚みを \(20\,\text{mm}\) から \(40\,\text{mm}\) に変えると、同じ荷重・同じスパンでの最大たわみは何倍になるか求めましょう。また、厚みは変えずにスパンを \(2\) 倍にすると、等分布荷重（\(1\,\text{mm}\) あたりの荷重は同じ）での最大たわみは何倍になるか求めましょう。
解答：厚みを2倍にすると \(\dfrac{1}{8}\) 倍、スパンを2倍にすると \(16\) 倍
たわみは断面二次モーメントに反比例し、断面二次モーメントは厚みの3乗に比例します。
厚みが \(2\) 倍になると断面二次モーメントは \(2^{3} = 8\) 倍になるので、たわみは
\(\dfrac{1}{8}\) 倍
等分布荷重（\(1\,\text{mm}\) あたりの荷重が同じ）のたわみはスパンの4乗に比例します。
スパンが \(2\) 倍になると、たわみは
\(2^{4} = 16\) 倍
よって厚みを2倍にすると \(\dfrac{1}{8}\) 倍、スパンを2倍にすると \(16\) 倍です。