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次の式を \(R\sin(\theta + \alpha)\) の形に合成しましょう。
\(\sin\theta + \cos\theta\)
解答：\(\sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
まず振幅を求めます。
\(R = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
次に、係数を振幅で割って角 \(\alpha\) の条件を作ります。
\(\cos\alpha = \dfrac{1}{\sqrt{2}} = \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \ \sin\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
コサインもサインも \(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\) になる角は \(\alpha = \dfrac{\pi}{4}\) です。
\(\sin\theta + \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
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次の式を \(R\sin(\theta + \alpha)\) の形に合成しましょう。
\(\sin\theta - \cos\theta\)
解答：\(\sqrt{2}\sin\left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)\)
係数は \(a = 1,\ b = -1\) です。振幅は2乗して足すのでマイナスが消えます。
\(R = \sqrt{1^{2} + (-1)^{2}} = \sqrt{2}\)
角 \(\alpha\) の条件を作ります。
\(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{2}}{2},\ \ \sin\alpha = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
コサインが正・サインが負なので、\(\alpha\) は単位円の右下（第4象限）の角で、\(\alpha = -\dfrac{\pi}{4}\) です。
\(\sin\theta - \cos\theta = \sqrt{2}\sin\left(\theta - \dfrac{\pi}{4}\right)\)
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次の式を \(R\sin(\theta + \alpha)\) の形に合成しましょう。
\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta\)
解答：\(2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)\)
振幅を求めます。\(\sqrt{3}\) の2乗は \(3\) です。
\(R = \sqrt{\left(\sqrt{3}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = \sqrt{4} = 2\)
角 \(\alpha\) の条件を作ります。
\(\cos\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2},\ \ \sin\alpha = \dfrac{1}{2}\)
この2つを満たす角は \(\alpha = \dfrac{\pi}{6}\) です。
\(\sqrt{3}\sin\theta + \cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{6}\right)\)
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次の式を \(R\sin(\theta + \alpha)\) の形に合成しましょう。
\(\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta\)
解答：\(2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)\)
振幅を求めます。
\(R = \sqrt{1^{2} + \left(\sqrt{3}\right)^{2}} = \sqrt{1 + 3} = 2\)
角 \(\alpha\) の条件を作ります。
\(\cos\alpha = \dfrac{1}{2},\ \ \sin\alpha = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
この2つを満たす角は \(\alpha = \dfrac{\pi}{3}\) です。問3と係数の並びが逆になると、角も \(\dfrac{\pi}{6}\) から \(\dfrac{\pi}{3}\) に変わることを確かめましょう。
\(\sin\theta + \sqrt{3}\cos\theta = 2\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{3}\right)\)
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次の式の最大値と最小値を求めましょう。
\(3\sin\theta + 4\cos\theta\)
解答：最大値 \(5\)、最小値 \(-5\)
振幅を求めます。
\(R = \sqrt{3^{2} + 4^{2}} = \sqrt{25} = 5\)
合成すると \(5\sin(\theta + \alpha)\) の形になり、サインの値は \(-1\) 以上 \(1\) 以下なので、式の値は \(-5\) 以上 \(5\) 以下です。
この場合の \(\alpha\) は有名角にはなりませんが、最大値・最小値を求めるだけなら \(\alpha\) の値は不要で、振幅 \(R\) だけで答えられます。
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\(0 \leqq \theta < 2\pi\) のとき、次の関数の最大値と、そのときの \(\theta\) を求めましょう。
\(f(\theta) = \sin\theta + \cos\theta\)
解答：最大値 \(\sqrt{2}\)（\(\theta = \dfrac{\pi}{4}\) のとき）
問1の結果を使うと、次の形に合成できます。
\(f(\theta) = \sqrt{2}\sin\left(\theta + \dfrac{\pi}{4}\right)\)
最大になるのはサインが \(1\) になるときです。
\(\theta + \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{2}\)
これを解くと次の値が得られます。
\(\theta = \dfrac{\pi}{2} - \dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\pi}{4}\)
\(0 \leqq \theta < 2\pi\) の範囲でサインが \(1\) になるのはこの1回だけなので、最大値は \(\sqrt{2}\)、そのときの \(\theta\) は \(\dfrac{\pi}{4}\) です。