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サイコロを1回投げたところ、出た目は偶数だったと分かっています。
このとき、出た目が4以上である確率を求めましょう。
解答：\(\dfrac{2}{3}\)
偶数の目は2・4・6の3通りで、そのうち4以上は4・6の2通りです。
考える世界を「偶数が出た場合」に縮めて数えると、確率は \(\dfrac{2}{3}\) です。
条件付き確率の式でも同じ答えになります。
偶数が出る事象をA、4以上が出る事象をBとすると
\(P(A) = \dfrac{3}{6} = \dfrac{1}{2},\ \ P(A \cap B) = \dfrac{2}{6} = \dfrac{1}{3}\)
式に代入します。
\(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{1}{3} \div \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{3} \times 2 = \dfrac{2}{3}\)
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事象Aが起こる確率が0.4、AとBが両方起こる確率が0.1のとき、条件付き確率 \(P_{A}(B)\) を求めましょう。
解答：\(0.25\)
条件付き確率の式に、そのまま代入します。
\(P_{A}(B) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(A)} = \dfrac{0.1}{0.4} = \dfrac{1}{4} = 0.25\)
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10本中3本が当たりのくじを、引いたくじを戻さずに2本続けて引きます。
2本とも当たる確率を求めましょう。
解答：\(\dfrac{1}{15}\)
1本目が当たる確率は \(\dfrac{3}{10}\) です。
1本目が当たったとき、残りは9本中2本が当たりなので、2本目も当たる条件付き確率は \(\dfrac{2}{9}\) です。
「まず1本目、そのうえで2本目」と乗法定理で掛けます。
\(P(A \cap B) = P(A) \times P_{A}(B) = \dfrac{3}{10} \times \dfrac{2}{9} = \dfrac{6}{90} = \dfrac{1}{15}\)
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ある工場では、製品の60%を機械Xが、40%を機械Yが作っています。
不良品が出る確率は、機械Xで2%、機械Yで5%です。
この工場の製品から1個を選んだとき、それが不良品である確率を求めましょう。
解答：\(0.032\)（3.2%）
不良品になるルートは「機械Xで作られて不良」と「機械Yで作られて不良」の2本で、この2本は同時には起こりません（排反）。
それぞれのルートの確率を乗法定理で求めます。
\(0.6 \times 0.02 = 0.012\)
\(0.4 \times 0.05 = 0.02\)
全確率の定理で2本のルートを足します。
\(P(B) = 0.012 + 0.02 = 0.032\)
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問題4の工場で、選んだ1個が不良品だったと分かりました。
この不良品が機械Xで作られたものである確率を求めましょう。
解答：\(\dfrac{3}{8}\)
「不良品だった」という結果から、「機械Xが原因」の確率を逆算するので、ベイズの定理の出番です。
機械Xで作られて不良になる確率は、問題4の途中で求めたとおりです。
\(P(A \cap B) = 0.6 \times 0.02 = 0.012\)
不良品である確率全体（全確率）で割ります。
\(P_{B}(A) = \dfrac{P(A \cap B)}{P(B)} = \dfrac{0.012}{0.032} = \dfrac{12}{32} = \dfrac{3}{8}\)
機械Xは生産量が多い一方で不良率が低いため、不良品の原因としては半分未満（37.5%）になります。