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楕円
\(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)
の焦点の座標を求めましょう。
解答：\((4,\ 0)\) と \((-4,\ 0)\)
\(x^{2}\) の分母の方が大きい（\(25 > 9\)）ので、横に長い楕円です。
焦点は \(x\) 軸の上にあります。
大きい方の分母から小さい方の分母を引いて \(c^{2}\) を求めます。
\(c^{2} = 25 - 9 = 16\)
\(c = \sqrt{16} = 4\)
よって焦点は
\((4,\ 0),\quad (-4,\ 0)\)
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楕円
\(\dfrac{x^{2}}{4} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)
の焦点の座標を求めましょう。
解答：\((0,\ \sqrt{5})\) と \((0,\ -\sqrt{5})\)
今度は \(y^{2}\) の分母の方が大きい（\(4 < 9\)）ので、縦に長い楕円です。
焦点は \(y\) 軸の上にあります。
\(c^{2} = 9 - 4 = 5\)
\(c = \sqrt{5}\)
\(5\) は平方数ではないので、\(\sqrt{5}\) のまま答えます。
よって焦点は
\((0,\ \sqrt{5}),\quad (0,\ -\sqrt{5})\)
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双曲線
\(\dfrac{x^{2}}{16} - \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)
の焦点の座標と漸近線の方程式を求めましょう。
解答：焦点 \((5,\ 0)\) と \((-5,\ 0)\)、漸近線 \(y = \pm\dfrac{3}{4}x\)
右辺が \(1\) なので、左右に開く双曲線です。
焦点は \(x\) 軸の上にあります。
双曲線では、2つの分母を足して \(c^{2}\) を求めます（楕円との違いに注意）。
\(c^{2} = 16 + 9 = 25\)
\(c = \sqrt{25} = 5\)
よって焦点は
\((5,\ 0),\quad (-5,\ 0)\)
漸近線は \(y = \pm\dfrac{b}{a}x\) です。
\(a = \sqrt{16} = 4,\quad b = \sqrt{9} = 3\)
\(y = \pm\dfrac{3}{4}x\)
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放物線
\(y^{2} = 12x\)
の焦点の座標と準線の方程式を求めましょう。
解答：焦点 \((3,\ 0)\)、準線 \(x = -3\)
標準形 \(y^{2} = 4px\) と比べます。
\(4p = 12\)
\(p = \dfrac{12}{4} = 3\)
焦点は \((p,\ 0)\)、準線は \(x = -p\) なので
焦点 \((3,\ 0)\)、準線 \(x = -3\)
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放物線
\(x^{2} = -8y\)
の焦点の座標と準線の方程式を求めましょう。
解答：焦点 \((0,\ -2)\)、準線 \(y = 2\)
\(x^{2} = \cdots\) の形なので、縦に開く放物線です。
標準形 \(x^{2} = 4py\) と比べます。
\(4p = -8\)
\(p = \dfrac{-8}{4} = -2\)
焦点は \((0,\ p)\)、準線は \(y = -p\) なので
焦点 \((0,\ -2)\)、準線 \(y = 2\)
\(p < 0\) なので、この放物線は下に開いています。
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楕円
\(\dfrac{x^{2}}{25} + \dfrac{y^{2}}{9} = 1\)
の離心率を求めましょう。
解答：\(e = \dfrac{4}{5}\)
問1で求めたとおり、この楕円は横長で \(c = 4\) です。
離心率は「中心から焦点までの距離 \(c\)」を「中心から頂点までの距離 \(a\)」で割った値です。
\(a = \sqrt{25} = 5\)
\(e = \dfrac{c}{a} = \dfrac{4}{5}\)
\(e\) が \(1\) に近いほど細長い楕円で、\(0\) に近いほど円に近い形です。