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次の定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int_{0}^{1} 3x^{2}\,dx\)
解答：\(1\)
まず、べき関数の積分公式で原始関数を求めます。
\(\displaystyle\int x^{n}\,dx = \dfrac{x^{n+1}}{n+1} + C\)
\(3x^{2}\) は、\(x^{2}\) の指数 \(2\) を1増やして \(3\) にし、増やした後の \(3\) で割るので
\(3 \times \dfrac{x^{3}}{3} = x^{3}\)
よって \(F(x) = x^{3}\) です（微分して \(3x^{2}\) に戻るので正しいと確かめられます）。
あとは上端 \(1\)・下端 \(0\) を代入して引き算します。
\(\displaystyle\int_{0}^{1} 3x^{2}\,dx = \Bigl[x^{3}\Bigr]_{0}^{1} = 1^{3} - 0^{3} = 1\)
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次の定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int_{0}^{2} x\,dx\)
解答：\(2\)
\(x\) は \(x^{1}\) のことなので、指数 \(1\) を1増やして \(2\) にし、\(2\) で割ると原始関数が求められます。
\(F(x) = \dfrac{x^{2}}{2}\)
上端 \(2\)・下端 \(0\) を代入して引き算します。
\(\displaystyle\int_{0}^{2} x\,dx = \left[\dfrac{x^{2}}{2}\right]_{0}^{2} = \dfrac{2^{2}}{2} - \dfrac{0^{2}}{2} = 2 - 0 = 2\)
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次の定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int_{1}^{3} 2x\,dx\)
解答：\(8\)
係数はそのまま残して、\(x\) の部分だけ公式で積分します。
\(2 \times \dfrac{x^{2}}{2} = x^{2}\)
よって \(F(x) = x^{2}\) です。
下端が \(0\) でなくても手順は同じで、上端 \(3\)・下端 \(1\) を代入して引き算します。
\(\displaystyle\int_{1}^{3} 2x\,dx = \Bigl[x^{2}\Bigr]_{1}^{3} = 3^{2} - 1^{2} = 9 - 1 = 8\)
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次の定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \left(3x^{2} + 1\right)\,dx\)
解答：\(2\)
項が2つ以上あるときは、項ごとに積分して足します。
\(3x^{2}\) の原始関数は \(x^{3}\)（問1と同じ）、定数 \(1\) の原始関数は \(x\)（微分すると \(1\) に戻る）なので
\(F(x) = x^{3} + x\)
上端 \(1\)・下端 \(0\) を代入して引き算します。
\(\displaystyle\int_{0}^{1} \left(3x^{2} + 1\right)dx = \Bigl[x^{3} + x\Bigr]_{0}^{1} = \left(1^{3} + 1\right) - \left(0^{3} + 0\right) = 2 - 0 = 2\)
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次の定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}\,dx\)
解答：\(\dfrac{8}{3}\)
\(x^{2}\) の指数 \(2\) を1増やして \(3\) にし、\(3\) で割ると原始関数が求められます。
\(F(x) = \dfrac{x^{3}}{3}\)
上端 \(2\)・下端 \(0\) を代入して引き算します。
\(\displaystyle\int_{0}^{2} x^{2}\,dx = \left[\dfrac{x^{3}}{3}\right]_{0}^{2} = \dfrac{2^{3}}{3} - \dfrac{0^{3}}{3} = \dfrac{8}{3} - 0 = \dfrac{8}{3}\)
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次の定積分を計算しましょう。
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx\)
解答：\(0\)
\(x^{3}\) の指数 \(3\) を1増やして \(4\) にし、\(4\) で割ると原始関数が求められます。
\(F(x) = \dfrac{x^{4}}{4}\)
負の数を代入するときは、かっこを付けてから計算します。
\(\displaystyle\int_{-1}^{1} x^{3}\,dx = \left[\dfrac{x^{4}}{4}\right]_{-1}^{1} = \dfrac{1^{4}}{4} - \dfrac{(-1)^{4}}{4} = \dfrac{1}{4} - \dfrac{1}{4} = 0\)
グラフで見ると、\(x\) 軸の上の面積と下の面積が打ち消し合って \(0\) になっています（符号付き面積）。