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次の関数を微分しましょう。
\(f(x) = 3\sin x\)
解答：\(f'(x) = 3\cos x\)
微分公式より
\((\sin x)' = \cos x\)
係数 \(3\) はそのまま残して
\(f'(x) = 3\cos x\)
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次の関数を微分しましょう。
\(f(x) = \cos 2x\)
解答：\(f'(x) = -2\sin 2x\)
微分公式より
\((\cos x)' = -\sin x\)
中身が \(2x\) なので、係数 \(2\) が前に出ます（合成関数の微分）。
\(f'(x) = 2 \times (-\sin 2x) = -2\sin 2x\)
マイナスの付け忘れと、\(2\) の掛け忘れがどちらも定番のミスです。
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次の関数を微分しましょう。
\(f(x) = 2e^{3x}\)
解答：\(f'(x) = 6e^{3x}\)
\(e^{x}\) は微分しても変わりません。
\((e^{x})' = e^{x}\)
指数が \(3x\) なので、係数 \(3\) が前に出ます。
\(\left(e^{3x}\right)' = 3e^{3x}\)
係数 \(2\) を掛けて
\(f'(x) = 2 \times 3e^{3x} = 6e^{3x}\)
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次の関数を微分しましょう。
\(f(x) = \log x\)
解答：\(f'(x) = \dfrac{1}{x}\)
自然対数の微分公式そのものです。
\((\log x)' = \dfrac{1}{x}\)
「\(\log x\) の変化は、\(x\) が大きいほどゆるやかになる」という対数のグラフの形が、\(\dfrac{1}{x}\) がだんだん小さくなることと対応しています。
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次の関数を微分しましょう。
\(f(x) = \sqrt{x}\)
解答：\(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
\(\sqrt{x} = x^{\frac{1}{2}}\) と指数の形に直し、べき関数の公式を使います。
\((x^{n})' = nx^{n-1}\)
指数 \(\dfrac{1}{2}\) を前に出して、指数を \(1\) 減らすと
\(\left(x^{\frac{1}{2}}\right)' = \dfrac{1}{2}x^{-\frac{1}{2}}\)
\(x^{-\frac{1}{2}} = \dfrac{1}{\sqrt{x}}\) なので
\(f'(x) = \dfrac{1}{2\sqrt{x}}\)
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次の関数を微分しましょう。
\(f(x) = \dfrac{1}{x}\)
解答：\(f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}}\)
\(\dfrac{1}{x} = x^{-1}\) と指数の形に直し、べき関数の公式を使います。
指数 \(-1\) を前に出して、指数を \(1\) 減らすと
\(\left(x^{-1}\right)' = -x^{-2}\)
\(x^{-2} = \dfrac{1}{x^{2}}\) なので
\(f'(x) = -\dfrac{1}{x^{2}}\)
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\(f(x) = \sin x\) の \(x = \dfrac{\pi}{3}\) での微分係数を求めましょう。
解答：\(f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \dfrac{1}{2}\)
まず導関数を求めます。
\(f'(x) = \cos x\)
点 \(x = \dfrac{\pi}{3}\)（\(60^\circ\)）を代入します。
\(f'\left(\dfrac{\pi}{3}\right) = \cos\dfrac{\pi}{3} = \dfrac{1}{2}\)
\(\dfrac{\pi}{3}\) は有名角なので、微分係数が厳密値で求まります。
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\(f(x) = \tan x\) の \(x = \dfrac{\pi}{4}\) での微分係数を求めましょう。
解答：\(f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = 2\)
まず導関数を求めます。
\(f'(x) = \dfrac{1}{\cos^{2} x}\)
点 \(x = \dfrac{\pi}{4}\)（\(45^\circ\)）を代入します。
\(\cos\dfrac{\pi}{4} = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) なので
\(\cos^{2}\dfrac{\pi}{4} = \left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right)^{2} = \dfrac{1}{2}\)
よって
\(f'\left(\dfrac{\pi}{4}\right) = \dfrac{1}{\dfrac{1}{2}} = 2\)