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1枚のコインを1回投げ、表が出たら1点、裏が出たら0点とします。
得点 \(X\) の期待値 \(E(X)\) を求めましょう。
解答：\(\dfrac{1}{2}\) 点
表と裏はどちらも確率 \(\dfrac{1}{2}\) で出ます。
それぞれの値にその確率を掛けて、全部足します。
\(E(X) = 1 \times \dfrac{1}{2} + 0 \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1}{2}\)
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1個のサイコロを1回投げます。
出る目 \(X\) の期待値 \(E(X)\) を求めましょう。
解答：\(\dfrac{7}{2}\)
1から6の目はどれも確率 \(\dfrac{1}{6}\) で出ます。
\(E(X) = 1 \times \dfrac{1}{6} + 2 \times \dfrac{1}{6} + 3 \times \dfrac{1}{6} + 4 \times \dfrac{1}{6} + 5 \times \dfrac{1}{6} + 6 \times \dfrac{1}{6}\)
分子をまとめて計算します。
\(E(X) = \dfrac{1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6}{6} = \dfrac{21}{6} = \dfrac{7}{2}\)
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10本のうち1本だけ当たりが入っているくじがあります。当たりを引くと賞金500円、はずれは0円です。
このくじを1回引くときの賞金 \(X\) の期待値 \(E(X)\) を求めましょう。
解答：\(50\) 円
当たりの確率は \(\dfrac{1}{10}\)、はずれの確率は \(\dfrac{9}{10}\) です。
\(E(X) = 500 \times \dfrac{1}{10} + 0 \times \dfrac{9}{10} = 50\)
このくじを何回も引くと、1回あたり平均50円もらえる計算になります。
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確率変数 \(X\) は、値 \(1\) と値 \(3\) をそれぞれ確率 \(\dfrac{1}{2}\) でとります。
期待値 \(E(X)\) と分散 \(V(X)\) を求めましょう。
解答：\(E(X) = 2,\ V(X) = 1\)
まず期待値を求めます。
\(E(X) = 1 \times \dfrac{1}{2} + 3 \times \dfrac{1}{2} = 2\)
次に2乗の平均を求めます。
\(E(X^{2}) = 1^{2} \times \dfrac{1}{2} + 3^{2} \times \dfrac{1}{2} = \dfrac{1 + 9}{2} = 5\)
分散は「2乗の平均から期待値の2乗を引く」計算式で求められます。
\(V(X) = E(X^{2}) - \{E(X)\}^{2} = 5 - 2^{2} = 1\)
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2枚のコインを同時に投げ、表が出た枚数を \(X\) とします。
期待値 \(E(X)\) と分散 \(V(X)\) を求めましょう。
解答：\(E(X) = 1,\ V(X) = \dfrac{1}{2}\)
表の枚数は 0枚・1枚・2枚のどれかで、確率はそれぞれ \(\dfrac{1}{4},\ \dfrac{1}{2},\ \dfrac{1}{4}\) です（2枚の表裏の出方4通りのうち、表1枚になるのは「表裏」「裏表」の2通り）。
\(E(X) = 0 \times \dfrac{1}{4} + 1 \times \dfrac{1}{2} + 2 \times \dfrac{1}{4} = 1\)
次に2乗の平均を求めます。
\(E(X^{2}) = 0^{2} \times \dfrac{1}{4} + 1^{2} \times \dfrac{1}{2} + 2^{2} \times \dfrac{1}{4} = \dfrac{3}{2}\)
分散は「2乗の平均から期待値の2乗を引く」計算式で求められます。
\(V(X) = \dfrac{3}{2} - 1^{2} = \dfrac{1}{2}\)
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ある確率変数 \(X\) の分散が \(V(X) = \dfrac{9}{4}\) です。
標準偏差 \(\sigma(X)\) を求めましょう。
解答：\(\dfrac{3}{2}\)
標準偏差は分散の正の平方根です。
\(\sigma(X) = \sqrt{V(X)} = \sqrt{\dfrac{9}{4}} = \dfrac{3}{2}\)
\(\left(\dfrac{3}{2}\right)^{2} = \dfrac{9}{4}\) に戻るので、正しいと確かめられます。