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弧ABに対する中心角が \(80^\circ\) のとき、この弧に対する円周角を求めましょう。
解答：\(40^\circ\)
円周角の定理より、円周角は同じ弧に対する中心角の半分です。
\(80^\circ \div 2 = 40^\circ\)
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弧ABに対する円周角が \(35^\circ\) のとき、この弧に対する中心角を求めましょう。
解答：\(70^\circ\)
中心角は同じ弧に対する円周角の2倍です。
\(35^\circ \times 2 = 70^\circ\)
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ABを円の直径、\(P\) を \(A\)・\(B\) 以外の円周上の点とするとき、\(\angle APB\) の大きさを求めましょう。
解答：\(90^\circ\)
直径ABに対する弧は半円なので、中心角は一直線の \(180^\circ\) です。
円周角はその半分なので
\(180^\circ \div 2 = 90^\circ\)
これがタレスの定理で、点 \(P\) が円周上のどこにあっても \(\angle APB\) は直角になります。
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円周上の2点 \(P\)・\(Q\) から弧ABを見込むとき、\(\angle APB = 54^\circ\) ならば \(\angle AQB\) の大きさを求めましょう（\(P\)・\(Q\) はどちらも弧AB上にない点とします）。
解答：\(54^\circ\)
同じ弧に対する円周角はすべて等しいので、計算するまでもなく
\(\angle AQB = \angle APB = 54^\circ\)
理由は、どちらの円周角も「弧ABに対する中心角の半分」で、中心角は1つに決まっているからです。
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円に内接する四角形ABCDで \(\angle A = 95^\circ\) のとき、\(\angle C\) の大きさを求めましょう。
解答：\(85^\circ\)
円に内接する四角形の対角の和は \(180^\circ\) です。
\(\angle C = 180^\circ - 95^\circ = 85^\circ\)
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同じ円で 弧AB : 弧CD \(= 1 : 2\) とします。弧ABに対する円周角が \(25^\circ\) のとき、弧CDに対する円周角を求めましょう。
解答：\(50^\circ\)
円周角は弧の長さに比例するので、円周角の比も弧の比と同じ \(1 : 2\) になります。
弧CDは弧ABの2倍の長さだから、円周角も2倍で
\(25^\circ \times 2 = 50^\circ\)
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ある弧に対する中心角が、同じ弧に対する円周角より \(45^\circ\) 大きいとき、円周角の大きさを求めましょう。
解答：\(45^\circ\)
円周角を \(x\) とすると、中心角はその2倍の \(2x\) です。
中心角が円周角より \(45^\circ\) 大きいことを式にすると
\(2x - x = 45^\circ\)
左辺を整理すると \(x = 45^\circ\) なので、円周角は \(45^\circ\) です（中心角は \(90^\circ\)）。