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直交座標が次のように表される点を、極座標で表しましょう。
\(P\left(1,\ 1\right)\)
解答：\(P\left(\sqrt{2},\ \dfrac{\pi}{4}\right)\)
まず動径を求めます。
\(r = \sqrt{1^{2} + 1^{2}} = \sqrt{2}\)
次に偏角を求めます。\(x\)・\(y\) がどちらも正なので、点 \(P\) は第1象限にあります。
\(\tan\theta = \dfrac{1}{1} = 1\)
\(\tan\theta = 1\) となる角のうち第1象限にあるものだから
\(\theta = \dfrac{\pi}{4}\)
よって極座標は
\(P\left(\sqrt{2},\ \dfrac{\pi}{4}\right)\)
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直交座標が次のように表される点を、極座標で表しましょう。
\(P\left(-\sqrt{3},\ 1\right)\)
解答：\(P\left(2,\ \dfrac{5}{6}\pi\right)\)
まず動径を求めます。
\(r = \sqrt{\left(-\sqrt{3}\right)^{2} + 1^{2}} = \sqrt{3 + 1} = 2\)
\(x\) が負・\(y\) が正なので、点 \(P\) は第2象限にあります。
\(\tan\theta = \dfrac{1}{-\sqrt{3}} = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\)
\(\tan\theta = -\dfrac{1}{\sqrt{3}}\) となる角のうち第2象限にあるものだから
\(\theta = \dfrac{5}{6}\pi\)
よって極座標は
\(P\left(2,\ \dfrac{5}{6}\pi\right)\)
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直交座標が次のように表される点を、極座標で表しましょう。
\(P\left(0,\ -3\right)\)
解答：\(P\left(3,\ \dfrac{3}{2}\pi\right)\)
この点は \(y\) 軸の負の部分にあります。
動径は極からの距離なので
\(r = 3\)
\(y\) 軸の負の向きは、始線から反時計回りに4分の3周した向きだから
\(\theta = \dfrac{3}{2}\pi\)
よって極座標は
\(P\left(3,\ \dfrac{3}{2}\pi\right)\)
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直交座標が次のように表される点を、極座標で表しましょう。
\(P\left(-2,\ -2\right)\)
解答：\(P\left(2\sqrt{2},\ \dfrac{5}{4}\pi\right)\)
まず動径を求めます。
\(r = \sqrt{\left(-2\right)^{2} + \left(-2\right)^{2}} = \sqrt{8} = 2\sqrt{2}\)
\(x\)・\(y\) がどちらも負なので、点 \(P\) は第3象限にあります。
\(\tan\theta = \dfrac{-2}{-2} = 1\)
\(\tan\theta = 1\) となる角のうち第3象限にあるものだから
\(\theta = \dfrac{5}{4}\pi\)
よって極座標は
\(P\left(2\sqrt{2},\ \dfrac{5}{4}\pi\right)\)
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極座標が次のように表される点を、直交座標で表しましょう。
\(P\left(4,\ \dfrac{2}{3}\pi\right)\)
解答：\(P\left(-2,\ 2\sqrt{3}\right)\)
三角比の値を代入します。
\(\cos\dfrac{2}{3}\pi = -\dfrac{1}{2}\)、\(\sin\dfrac{2}{3}\pi = \dfrac{\sqrt{3}}{2}\)
\(x\) 座標と \(y\) 座標をそれぞれ計算します。
\(x = 4 \times \left(-\dfrac{1}{2}\right) = -2\)
\(y = 4 \times \dfrac{\sqrt{3}}{2} = 2\sqrt{3}\)
よって直交座標は
\(P\left(-2,\ 2\sqrt{3}\right)\)
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極座標が次のように表される点を、直交座標で表しましょう。
\(P\left(2,\ \dfrac{5}{4}\pi\right)\)
解答：\(P\left(-\sqrt{2},\ -\sqrt{2}\right)\)
三角比の値を代入します。
\(\cos\dfrac{5}{4}\pi = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)、\(\sin\dfrac{5}{4}\pi = -\dfrac{\sqrt{2}}{2}\)
\(x\) 座標と \(y\) 座標をそれぞれ計算します。
\(x = 2 \times \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}\)
\(y = 2 \times \left(-\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\sqrt{2}\)
よって直交座標は
\(P\left(-\sqrt{2},\ -\sqrt{2}\right)\)
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極座標が \(P\left(3,\ \dfrac{5}{3}\pi\right)\) である点について、同じ点を表す極座標を、偏角が \(-\pi < \theta \leq \pi\) の範囲になるように書き直しましょう。
解答：\(P\left(3,\ -\dfrac{\pi}{3}\right)\)
偏角に1周分の \(2\pi\) を足しても引いても、同じ点を指します。
\(\dfrac{5}{3}\pi\) は \(\pi\) より大きいので、1周分を引いて範囲に入れます。
\(\dfrac{5}{3}\pi - 2\pi = \dfrac{5}{3}\pi - \dfrac{6}{3}\pi = -\dfrac{\pi}{3}\)
\(-\dfrac{\pi}{3}\) は \(-\pi < \theta \leq \pi\) の範囲に入っているので
\(P\left(3,\ -\dfrac{\pi}{3}\right)\)