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次の関数を微分しましょう。
\(f(x) = x^{2}\)
解答：\(f'(x) = 2x\)
べき関数の微分公式を使います。
\(\left(x^{n}\right)'' = nx^{n-1}\)
指数の \(2\) を前に降ろし、指数を \(1\) 減らします。
\(f''(x) = 2x^{2-1} = 2x\)
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次の関数を微分しましょう。
\(f(x) = 3x^{2} - 2x + 5\)
解答：\(f'(x) = 6x - 2\)
項ごとに微分して、つなぎます。
\(3x^{2}\) は、指数の \(2\) を前に降ろして係数 \(3\) に掛け、指数を \(1\) 減らします。
\(\left(3x^{2}\right)'' = 3 \times 2x = 6x\)
\(-2x\) の微分は、\(x\) の微分が \(1\) なので係数だけが残ります。
\(\left(-2x\right)'' = -2\)
定数項 \(5\) の微分は \(0\) です（変化しない量の変化の割合は \(0\)）。
\(f''(x) = 6x - 2\)
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関数 \(f(x) = x^{2}\) の \(x = 3\) での微分係数 \(f''(3)\) を求めましょう。
解答：\(f'(3) = 6\)
まず導関数を求めます。
\(f''(x) = 2x\)
導関数に \(x = 3\) を代入した値が微分係数です。
\(f''(3) = 2 \times 3 = 6\)
これは、放物線 \(y = x^{2}\) 上の点 \((3,\ 9)\) での接線の傾きが \(6\) だという意味です。
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関数 \(f(x) = x^{3} + 2x\) の \(x = -1\) での微分係数 \(f''(-1)\) を求めましょう。
解答：\(f'(-1) = 5\)
まず導関数を求めます。
\(f''(x) = 3x^{2} + 2\)
負の数を代入するときは、かっこを付けてから計算します。
\(f''(-1) = 3 \times (-1)^{2} + 2 = 3 + 2 = 5\)
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関数 \(f(x) = x^{3} - 3x\) の極値を求めましょう。
解答：極大値 \(2\)（\(x = -1\)）、極小値 \(-2\)（\(x = 1\)）
導関数を求めて、\(f''(x) = 0\) となる \(x\) を探します。
\(f''(x) = 3x^{2} - 3 = 3(x + 1)(x - 1)\)
\(f''(x) = 0\) となるのは \(x = -1,\ 1\)
\(f''(x)\) の符号を調べると、\(x < -1\) でプラス、\(-1 < x < 1\) でマイナス、\(1 < x\) でプラスです。
増加から減少に切り替わる \(x = -1\) が極大、減少から増加に切り替わる \(x = 1\) が極小です。
それぞれの \(f(x)\) の値を計算します。
\(f(-1) = (-1)^{3} - 3 \times (-1) = -1 + 3 = 2\)
\(f(1) = 1^{3} - 3 \times 1 = 1 - 3 = -2\)
よって極大値は \(2\)（\(x = -1\)）、極小値は \(-2\)（\(x = 1\)）です。
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関数 \(f(x) = x^{3} - 6x^{2} + 9x\) の極値を求めましょう。
解答：極大値 \(4\)（\(x = 1\)）、極小値 \(0\)（\(x = 3\)）
導関数を求めて、因数分解します。
\(f''(x) = 3x^{2} - 12x + 9 = 3(x - 1)(x - 3)\)
\(f''(x) = 0\) となるのは \(x = 1,\ 3\)
\(f''(x)\) の符号は、\(x < 1\) でプラス、\(1 < x < 3\) でマイナス、\(3 < x\) でプラスです。
よって \(x = 1\) が極大、\(x = 3\) が極小です。
それぞれの \(f(x)\) の値を計算します。
\(f(1) = 1 - 6 + 9 = 4\)
\(f(3) = 27 - 54 + 27 = 0\)
よって極大値は \(4\)（\(x = 1\)）、極小値は \(0\)（\(x = 3\)）です。