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\(y = 2x^{2}\) について、\(x = 3\) のときの \(y\) の値を求めましょう。
解答：\(y = 18\)
\(x = 3\) を代入します。2乗が先、掛け算が後です。
\(y = 2 \times 3^{2} = 2 \times 9 = 18\)
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\(y = -x^{2}\) について、\(x = -2\) のときの \(y\) の値を求めましょう。
解答：\(y = -4\)
負の数の2乗は、かっこを付けてから計算します。
\(\left(-2\right)^{2} = 4\)
これに比例定数 \(-1\) を掛けます。
\(y = -1 \times 4 = -4\)
「2乗したから答えはプラス」と思い込んで \(y = 4\) としないよう注意しましょう。2乗されるのは \(x\) だけで、前についた符号はそのまま残ります。
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\(y = x^{2}\) について、\(x\) の変域が \(1 \leqq x \leqq 3\) のときの \(y\) の変域を求めましょう。
解答：\(1 \leqq y \leqq 9\)
端の値を計算します。
\(x = 1\) のとき \(y = 1^{2} = 1\)、\(x = 3\) のとき \(y = 3^{2} = 9\)
変域 \(1 \leqq x \leqq 3\) は \(0\) を含まないので、この区間でグラフは増加するだけです。端の値がそのまま最小・最大になります。
\(1 \leqq y \leqq 9\)
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\(y = x^{2}\) について、\(x\) の変域が \(-1 \leqq x \leqq 2\) のときの \(y\) の変域を求めましょう。
解答：\(0 \leqq y \leqq 4\)
端の値は \(x = -1\) のとき \(y = 1\)、\(x = 2\) のとき \(y = 4\) ですが、端の値だけで「\(1 \leqq y \leqq 4\)」とするのは定番の間違いです。
変域 \(-1 \leqq x \leqq 2\) は頂点の \(x = 0\) を含みます。グラフの該当部分は頂点 (0, 0) まで下がってから折り返すので、最小値は端の値ではなく頂点の \(0\) です。
最大値は \(0\) から遠い方の端 \(x = 2\) での値 \(4\) になります。
\(0 \leqq y \leqq 4\)
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\(y = -2x^{2}\) について、\(x\) の変域が \(-1 \leqq x \leqq 2\) のときの \(y\) の変域を求めましょう。
解答：\(-8 \leqq y \leqq 0\)
端の値を計算します。
\(x = -1\) のとき \(y = -2 \times \left(-1\right)^{2} = -2 \times 1 = -2\)、\(x = 2\) のとき \(y = -2 \times 2^{2} = -2 \times 4 = -8\)
\(a = -2 < 0\) なのでグラフは下に開いた放物線で、頂点 (0, 0) が一番高い点です。変域は頂点の \(x = 0\) を含むので、最大値が頂点の \(0\) になります。
最小値は \(0\) から遠い方の端 \(x = 2\) での値 \(-8\) です。
\(-8 \leqq y \leqq 0\)
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\(y = 2x^{2}\) について、\(x\) が \(1\) から \(3\) まで増加するときの変化の割合を求めましょう。
解答：\(8\)
\(y\) の値は \(x = 1\) のとき \(y = 2\)、\(x = 3\) のとき \(y = 18\) です。
増加量はそれぞれ \(\Delta x = 3 - 1 = 2\)、\(\Delta y = 18 - 2 = 16\)
変化の割合は y の増加量を x の増加量で割って求めます。
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{16}{2} = 8\)
公式で確かめても同じ値になります。
\(a(p + q) = 2 \times (1 + 3) = 8\)
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\(y = -x^{2}\) について、\(x\) が \(2\) から \(4\) まで増加するときの変化の割合を求めましょう。
解答：\(-6\)
\(y\) の値を計算します。
\(x = 2\) のとき \(y = -2^{2} = -4\)、\(x = 4\) のとき \(y = -4^{2} = -16\)
増加量はそれぞれ次のようになります。
\(\Delta x = 4 - 2 = 2\)、\(\Delta y = -16 - (-4) = -12\)
\(\dfrac{\Delta y}{\Delta x} = \dfrac{-12}{2} = -6\)
公式で確かめても一致します。
\(a(p + q) = -1 \times (2 + 4) = -6\)
y が減っているので、変化の割合は負の数になります。